(2006•張家界)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有兩點(diǎn)A(-2,0),B(,0),CB所在直線為y=2x+b,
(1)求b與C的坐標(biāo);
(2)連接AC,求證:△AOC∽△COB;
(3)求過(guò)A,B,C三點(diǎn)且對(duì)稱軸平行于y軸的拋物線解析式;
(4)在拋物線上是否存在一點(diǎn)P(不與C重合),使得S△ABP=S△ABC?若存在,請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】分析:(1)將B的坐標(biāo)代入CB的解析式可得b的值,進(jìn)而可得C的坐標(biāo);
(2)根據(jù)BC的坐標(biāo),易得△AOC與△COD中,對(duì)應(yīng)邊的比值相等,再根據(jù)OC⊥AB,易得兩個(gè)三角形相似;(3)設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,以三點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式得方程組,解可得abc的值,即可得拋物線的解析式;
(4)假設(shè)存在并設(shè)出其坐標(biāo),根據(jù)三角形面積相等易得|y|=|OC|=1,分y的值為1與-1兩種情況討論,進(jìn)而可得答案.
解答:解:(1)以B(,0)代入y=2x+b,2×+b=0,(2分)
得:b=-1則有C(0,-1).(3分)

(2)∵OC⊥AB,且,(5分)
∴△AOC∽△COB.(6分)

(3)設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,以三點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式得方程組:
,(8分)
所以y=x2+x-1.(9分)

(4)假設(shè)存在點(diǎn)P(x,y)
依題意有
得:|y|=|OC|=1.(10分)
①當(dāng)y=1時(shí),有x2+x-1=1
即x2+x-2=0,
解得:,(11分)
②當(dāng)y=-1時(shí),有x2+x-1=-1,
即x2+x=0,
解得:x3=0(舍去),
∴存在滿足條件的點(diǎn)P,它的坐標(biāo)為:.(12分)
點(diǎn)評(píng):[點(diǎn)評(píng)]此題綜合性較強(qiáng),4個(gè)小題的坡度設(shè)置較好,區(qū)分度也把握地很好,是道考查學(xué)生初中三年學(xué)習(xí)成果的好題,第4小題中不要忘了絕對(duì)值,否則會(huì)導(dǎo)致少解.
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A.2
B.3
C.4
D.5

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