【題目】已知:等邊三角形△ABC內(nèi)接于⊙O,點D在 上,連接AD、CD、BD,
(1)如圖1,求證:∠ADB=∠BDC=60°;
(2)如圖2,若BD=3CD,求證:AE=2CE;
(3)在(2)的條件下,連接OE,若BE=14,求線段OE的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析.(3)
【解析】
(1)根據(jù)同弧所對的圓周角相等,推出∠BDC=∠BAC=60°,∠ADC=∠ACB=60°即可解決問題.
(2)如圖2中,在BD上截取DH=DC,作EN⊥AD,EM⊥CD垂足分別為N、M.由△ACD≌△BCH推出BD=DA+DC,結(jié)合條件推出AD=2DC,再根據(jù),即可證明.
(3)如圖3中,連接AO,由此AO交BC于M,連接OE,作EN⊥BC于N,設(shè)OE=x.用x表示BN、EN,在Rt△EBN中,利用勾股定理列出方程即可.
(1)證明:如圖1中,
∵△ABC是等邊三角形,
∴∠BAC=∠ACB=60°,
∵∠BDC=∠BAC,∠ADC=∠ACB,
∴∠ADB=∠BDC=60°.
(2)如圖2中,在BD上截取DH=DC,作EN⊥AD,EM⊥CD垂足分別為N、M.
∵∠HDC=60°,DH=DC,
∴△DHC是等邊三角形,
∴HC=DC,∠CHD=60°,
∴∠BCA=∠HCD=60°,
∴∠BCH=∠ACD,
在△BCH和△ACD中,
,
∴△ACD≌△BCH,
∴BH=AD,
∴BD=BH+HD=AD+CD.
∵BD=3CD,
∴3CD=AD+CD,
∴AD=2CD,
∵∠ADB=∠BDC,EN⊥DA,EM⊥DC,
∴EN=EM,
∵,
∴AE=2CE.
(3)如圖3中,連接AO,由此AO交BC于M,連接OE,作EN⊥BC于N,設(shè)OE=x.
∵O是等邊三角形的外心,
∴OA=2OM,∵AE=2EC,
∴,
∴OE∥CM,
∵AM⊥BC,
∴AO⊥OE,
∵∠OAE=∠BAC=30°,
∴AE=2x,EC=x,CN=x,BN=x,EN=x
在Rt△BNE中,∵BE2=BN2+EN2,
∴142=(x)2+(x)2,
∴x2=28,
∵x>0,
∴x=2.
∴OE=2.
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【題目】如圖,CD⊥AB于點D,點E在CD上,下列四個條件:①AD=ED;②∠A=∠BED;③∠C=∠B;④AC=EB,將其中兩個作為條件,不能判定△ADC≌△EDB的是
A.①②B.①④C.②③D.②④
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【題目】數(shù)軸上兩點間的距離等于這兩點所對應的數(shù)的差的絕對值.例:如圖所示,點在數(shù)軸上分別對應的數(shù)為,則兩點間的距離表示為.
根據(jù)以上知識解題:
(1)若數(shù)軸上兩點表示的數(shù)分別為、-1,
①之間的距離可用含的式子表示為 ;
②若該兩點之間的距離為2,那么值為 .
(2)的最小值為 ,此時可以取的整數(shù)值是 .
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A<∠B,沿△ABC的中線CM將△CMA折疊,使點A落在點D處,若CD恰好與MB垂直,且BC=4,則△ABC 的面積為_____________.
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【題目】已知含字母m,n的代數(shù)式是: .
(1)化簡這個代數(shù)式.
(2)小明取m,n互為倒數(shù)的一對數(shù)值代入化簡的代數(shù)式中,恰好計算得代數(shù)式的值等于0.那么小明所取的字母n的值等于多少?
(3)聰明的小智從化簡的代數(shù)式中發(fā)現(xiàn),只要字母n取一個固定的數(shù),無論字母m取何數(shù),代數(shù)式的值恒為一個不變的數(shù),那么小智所取的字母n的值是多少呢?
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【題目】小明有一套火車玩具,有兩列火車、一副軌道、一個隧道模型及一個站牌.特別之處:隧道模型也可以像火車一樣移動,當火車頭進入隧道一瞬間會響起音樂,當火車完全穿過隧道的一瞬間音樂會結(jié)束.已知甲火車長厘米,甲乙兩列火車的速度均為厘米/秒,軌道長米.
(1)將軌道圍成一個圓圈,將甲、乙兩列火車緊挨站牌放置,車頭方向相反,同時啟動,到兩車相撞用時秒,求乙火車的長度?
(2)在(1)的條件下,乙火車穿過靜止的隧道音樂響起了秒,求隧道的長度;
(3)在(1)(2)的條件下,軌道鋪成一條直線,把隧道模型、甲火車依次放在站牌的右側(cè),站牌靜止不動,甲火車頭與隧道相距(即).當甲火車向左運動,隧道模型以不變的速度運動,音樂卻響了秒;當音樂結(jié)束的一瞬間,甲火車頭與站牌相距乙火車車身的長度,請同學們思考一下,以站牌所在地為原點建立數(shù)軸,你能確定甲火車、隧道在運動前的位置嗎?如果可以,請畫出數(shù)軸并標出運動前的位置.
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【題目】如圖,點A,B在雙曲線y=(x>0)上,點C在雙曲線y=(x>0)上,若AC∥y軸,BC∥x軸,且AC=BC,則AB等于( 。
A. B. 2 C. 4 D. 3
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【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點A(﹣1,0)、點B(3,0)、點C(4,y1),若點D(x2,y2)是拋物線上任意一點,有下列結(jié)論:
①二次函數(shù)y=ax2+bx+c的最小值為﹣4a;
②若﹣1≤x2≤4,則0≤y2≤5a;
③若y2>y1,則x2>4;
④一元二次方程cx2+bx+a=0的兩個根為﹣1和
其中正確結(jié)論的個數(shù)是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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