Question

17．如圖，△ABC是等邊三角形，D是AC邊上一動點（D不與A、C重合），E為BC邊的延長線上一動點，且在運動過程中始終保持CE=AD，連接DE．
（1）如圖（1），當點D為BC邊的中點時，試判斷△BDE的形狀，并證明你的結論；
（2）如圖（2），當點D為BC邊上任一位置時，（1）中的結論是否成立，請加以證明．

Answer 1

分析 （1）因為△ABC是等邊三角形，所以∠ABC=∠ACB=60°，BD是AC邊上的中線，則∠DBC=30°，再由題中條件求出∠E=30°，即可判斷△BDE的形狀．
（2）作DF∥AB，易證得△DFC是等邊三角形，得出DC=FC=DF，然后依據SAS證得△BDF≌△EDC，證得∠B=∠E，即可證得△BDE是等腰三角形．

解答 （1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵AD=CD，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠E，
∵∠ACB=∠CDE+∠E，
∴∠E=30°，
∴∠DBE=∠E，
∴BD=DE，
∴△BDE是等腰三角形．
（2）成立，
證明：如圖（2），作DF∥AB，
∴∠DFC=∠ABC=60°，
∵∠ACB=60°，
∴△DFC是等邊三角形，
∴DC=FC=DF，
∵AC=BC，
∴AC-DC=BC-FC，即AD=BF，
∵CE=AD，
∴CE=BF，
在△BDF和△EDC中
$\left\{\begin{array}{l}{DF=DC}\\{∠BFD=∠ECD=120°}\\{BF=CE}\end{array}\right.$
∴△BDF≌△EDC（SAS），
∴∠B=∠E，
∴BD=ED，
∴△BDE是等腰三角形．

點評 本題考查了等腰三角形的判定與性質及等邊三角形的性質；此題把等邊三角形的性質和等腰三角形的判定結合求解．考查了學生綜合運用數學知識的能力，（2）找出輔助線構建全等三角形是解題的關鍵．