(本題滿分9分)如圖①,小慧同學(xué)把一個正三角形紙片(即△OAB)放在直線
l1上,OA邊與直線
l1重合,然后將三角形紙片繞著頂點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)120°,此時點O運動到了點O
1處,點B運動到了點B
1處;小慧又將三角形紙片AO
1B
1繞點B
1按順時針方向旋轉(zhuǎn)120°,此時點A運動到了點A
1處,點O
1運動到了點O
2處(即頂點O經(jīng)過上述兩次旋轉(zhuǎn)到達O
2處).
小慧還發(fā)現(xiàn):三角形紙片在上述兩次旋轉(zhuǎn)的過程中,頂點O運動所形成的圖形是兩段
圓弧,即
和
,頂點O所經(jīng)過的路程是這兩段圓弧的長度之和,并且這兩段圓弧
與直線
l1圍成的圖形面積等于扇形AOO
1的面積、△AO
1B
1的面積和扇形B
1O
1O
2的面積之
和.
小慧進行類比研究:如圖②,她把邊長為1的正方形紙片OABC放在直線
l2上,OA
邊與直線
l2重合,然后將正方形紙片繞著頂點^按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,此時點O運動到
了點O
1處(即點B處),點C運動到了點C
1處,點B運動到了點B
1處;小慧又將正方形
紙片AO
1C
1B
1繞頂點B
1按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,……,按上述方法經(jīng)過若干次旋轉(zhuǎn)后.她
提出了如下問題:
問題①:若正方形紙片OABC接上述方法經(jīng)過3次旋轉(zhuǎn),求頂點O經(jīng)過的路程,并
求頂點O在此運動過程中所形成的圖形與直線
l2圍成圖形的面積;若正方形紙片OA BC
按上述方法經(jīng)過5次旋轉(zhuǎn),求頂點O經(jīng)過的路程;
問題②:正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過多少次旋轉(zhuǎn),頂點O經(jīng)過的路程是
?
請你解答上述兩個問題.