如圖，⊙O的半徑為1，點P是⊙O上一點，弦AB垂直平分線段OP，點D是APB上任一點（與端點A、B不重合），DE⊥AB于點E，以點D為圓心、DE長為半徑作⊙D，分別過點A、B作⊙D的切線，兩條切線相交于點C．

（1）求弦AB的長；
（2）判斷∠ACB是否為定值，若是，求出∠ACB的大小；否則，請說明理由；
（3）記△ABC的面積為S，若，求△ABC的周長.

如圖，已知PA、PB切⊙O于A、B兩點，連AB，且PA，PB的長是方程＝ 0的兩根，AB =" m." 試求：

(1)⊙O的半徑；(2)由PA，PB，圍成圖形(即陰影部分)的面積. （計算結果用含有π的式子表示）

如圖，⊙O的直徑AB=4，∠ABC=30°，BC=4，D是線段BC的中點。

（1）試判斷點D與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）過點D作DE⊥AC，垂足為點E，求證：直線DE是⊙O的切線。

如圖所示，AB是⊙O的一條弦，OD⊥AB，垂足為Ｃ，交⊙O于點D，點Ｅ在⊙O上。

（1）若，求的度數；
（2）若，，求的長．

如圖，BD為⊙O的直徑，AB=AC，AD交BC于點E，AE=2，ED=4，

(1)求證：△ABE∽△ADB；
(2)求AB的長；
(3)延長DB到F，使得BF=BO，連接FA，試判斷直線FA與⊙O的位置關系，并說明理由．

為進一步打造“宜居重慶”，某區(qū)擬在新竣工的矩形廣場的內部修建一個音樂噴泉，要求音樂噴泉M到廣場的兩個入口A、B的距離相等，且到廣場管理處C的距離等于A和B之間距離的一半，A、B、C的位置如圖所示．請在答題卷的原圖上利用尺規(guī)作出音樂噴泉M、位置．(要求：不寫已知、求作、作法和結論，保留作圖痕跡，必須用鉛筆作圖)

（1）已知：如圖1，已知在△ABC中，AB=AC，D為BC邊的中點，過點D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F．求證：DE=DF．
（2）如圖2，已知△ABC內接于⊙O，AC是⊙O的直徑，D是弧AB的中點，過點D作直線BC的垂線，分別交CB，CA的延長線于E，F，求證：EF是⊙O的切線．

如圖，這是一個供滑板愛好者使用的U型池，該U型池可以看作是一個長方體去掉一個“半圓柱”而成，中間可供滑行部分的截面是半徑為4m的半圓，其邊緣AB=CD=20m，點E在CD上，CE=2m，一滑行愛好者從A點到E點，則他滑行的最短距離是多少？（邊緣部分的厚度可以忽略不計，結果取整數）

已知圓O的直徑AB、CD互相垂直，弦AE交CD于F，若圓O的半徑為R.
求證：AE·AF＝2 R.

如圖所示,OA、OB、OC都是圓O的半徑,∠AOB=2∠BOC．求證:∠ACB=2∠BAC.