（本題滿分7分)如圖5，點P在平行四邊形ABCD的CD邊上，連結(jié)BP并延長與AD的延長線交于點Q．

（1）求證：△DQP∽△CBP；
（2）當△DQP≌△CBP，且AB=8時，求DP的長．

如圖1，在等邊△ABC中，點D是邊AC的中點，點P是線段DC上的動點(點
P與點C不重合)，連結(jié)BP. 將△ABP繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜180°），得
到△A₁B₁P,連結(jié)AA₁，射線AA₁分別交射線PB、射線B₁B于點E、F.
（1）如圖1，當0°＜α＜60°時，在α角變化過程中，△BEF與△AEP始終存在 ▲ 關(guān)
系（填“相似”或“全等”），并說明理由；
（2）如圖2，設(shè)∠ABP="β" . 當60°＜α＜180°時，在α角變化過程中，是否存在△BEF與△
AEP全等？若存在，求出α與β之間的數(shù)量關(guān)系；若不存在，請說明理由；
（3）如圖3，當α=60°時，點E、F與點B重合. 已知AB=4，設(shè)DP=x，△A₁BB₁的面積為
S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

（本小題滿分12分）圖形既關(guān)于點O中心對稱，又關(guān)于直線AC，BD對稱，AC=10，
BD=6，已知點E，M是線段AB上的動點（不與端點重合），點O到EF，MN的距離分別
為，，△OEF與△OGH組成的圖形稱為蝶形。
（1）求蝶形面積S的最大值；
（2）當以EH為直徑的圓與以MQ為直徑的圓重合時，求與滿足的關(guān)系式，并求的取值范圍。

如圖所示，P是⊙O外一點，PA是⊙O的切線，A是切點，B是⊙O 上一點，且PA=PB，連接AO、BO、AB，并延長BO與切線PA相交于點Q．

（1）求證：PB是⊙O的切線；
（2）求證：AQ•PQ=OQ•BQ；
（3）設(shè)∠AOQ=α，若cosα= ，OQ=15，求AB的長．
[來源:學科網(wǎng)ZXXK]

（滿分8分）如圖，BD是⊙O的直徑， A、C是⊙O上的兩點，且AB=AC，
AD與BC的延長線交于點E.
（1）求證：△ABD∽△AEB；
（2）若AD=1，DE=3，求BD的長.

（2011•常州）在平面直角坐標系XOY中，直線l₁過點A（1，0）且與y軸平行，直線l₂過點B（0，2）且與x軸平行，直線l₁與直線l₂相交于點P．點E為直線l₂上一點，反比例函數(shù)（k＞0）的圖象過點E與直線l₁相交于點F．
（1）若點E與點P重合，求k的值；
（2）連接OE、OF、EF．若k＞2，且△OEF的面積為△PEF的面積的2倍，求E點的坐標；
（3）是否存在點E及y軸上的點M，使得以點M、E、F為頂點的三角形與△PEF全等？若存在，求E點坐標；若不存在，請說明理由．

（2011•常州）在平面直角坐標系XOY中，一次函數(shù)的圖象是直線l₁，l₁與x軸、y軸分別相交于A、B兩點．直線l₂過點C（a，0）且與直線l₁垂直，其中a＞0．點P、Q同時從A點出發(fā)，其中點P沿射線AB運動，速度為每秒4個單位；點Q沿射線AO運動，速度為每秒5個單位．
（1）寫出A點的坐標和AB的長；
（2）當點P、Q運動了多少秒時，以點Q為圓心，PQ為半徑的⊙Q與直線l₂、y軸都相切，求此時a的值．

（2011•常州）如圖，在△ABO中，已知點、B（﹣1，﹣1）、C（0，0），正比例函數(shù)y=﹣x圖象是直線l，直線AC∥x軸交直線l與點C．
（1）C點的坐標為�。ī�3，3）　；
（2）以點O為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABO順時針旋轉(zhuǎn)角α（90°＜α＜180°），使得點B落在直線l上的對應(yīng)點為B′，點A的對應(yīng)點為A′，得到△A′OB′．
①∠α=　90°　；②畫出△A′OB′．
（3）寫出所有滿足△DOC∽△AOB的點D的坐標．

（2011•成都）如圖，已知線段AB∥CD，AD與BC相交于點K，E是線段AD上一動點．
（1）若BK=KC，求的值；
（2）連接BE，若BE平分∠ABC，則當AE=AD時，猜想線段AB、BC、CD三者之間有怎樣的等量關(guān)系？請寫出你的結(jié)論并予以證明．再探究：當AE=AD（n＞2），而其余條件不變時，線段AB、BC、CD三者之間又有怎樣的等量關(guān)系？請直接寫出你的結(jié)論，不必證明．

某課題學習小組在一次活動中對三角形的內(nèi)接正方形的有關(guān)問題進行了探討：
定義：如果一個正方形的四個頂點都在一個三角形的邊上，那么我們就把這個正方形叫做三角形的內(nèi)接正方形.
結(jié)論：在探討過程中，有三位同學得出如下結(jié)果：
甲同學：在鈍角、直角、不等邊銳角三角形中分別存在____個、________個、________個大小不同的內(nèi)接正方形.
乙同學：在直角三角形中，兩個頂點都在斜邊上的內(nèi)接正方形的面積較大.
丙同學：在不等邊銳角三角形中，兩個頂點都在較大邊上的內(nèi)接正方形的面積反而較小.
任務(wù)：（1）填充甲同學結(jié)論中的數(shù)據(jù)；
（2）乙同學的結(jié)果正確嗎？若不正確，請舉出一個反例并通過計算給予說明，若正確，請給出證明；
（3）請你結(jié)合（2）的判定，推測丙同學的結(jié)論是否正確，并證明
（如圖，設(shè)銳角△ABC的三條邊分別為不妨設(shè)，三條邊上的對應(yīng)高分別為，內(nèi)接正方形的邊長分別為.若你對本小題證明有困難，可直接用“”這個結(jié)論，但在證明正確的情況下扣1分）.