在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，將一塊三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊AB中點(diǎn)P處，將三角板繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交射線AC、射線CB于D、E兩點(diǎn)．如圖是旋轉(zhuǎn)三角板得到的圖形中的其中三種探究．

(1)三角板繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，觀察線段PD與PE之間有什么大小關(guān)系？并以圖(2)為例加以證明．

(2)三角板繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)△PBE是否能成為等腰三角形？若能指出所有情況(即求出△PBE為等腰三角形時(shí)的CE的長(zhǎng))，若不能說(shuō)明理由．

(3)若將三角板直角頂點(diǎn)放在斜邊AB上的M處，且AM∶MB＝1∶3和前面一樣操作試問(wèn)線段MD與ME之間有什么關(guān)系？請(qǐng)直接寫出結(jié)論．

在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖(1)的位置時(shí)，求證：

①△ADC≌△CEB；②DE＝AD＋BE；

(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖(2)的位置時(shí)，求證：DE＝AD－BE；

(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖(3)的位置時(shí)，試問(wèn)DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)！等量關(guān)系，并加以證明．

在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，將一塊三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊AB的中點(diǎn)P處，將三角板繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，三角板的兩條直角邊分別交AC、CB于D、E兩點(diǎn)，如圖(1)、(2)所示．

(1)問(wèn)PD與PE有何大小關(guān)系？并以圖(2)為例加以說(shuō)明；

(2)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，還會(huì)存在與圖(1)、(2)不同的情形嗎？若存在，請(qǐng)?jiān)趫D(3)中畫出，并說(shuō)明(1)中PD與PE的大小關(guān)系在圖(3)中是否還成立？

數(shù)學(xué)探究課上李老師出了這樣一道題：“如圖，正三角形ABC中有一點(diǎn)P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，試求∠APB的度數(shù)．”小明和小軍一起討論時(shí)發(fā)現(xiàn)了一種求∠APB度數(shù)的方法，下面是這種方法的一部分思路．請(qǐng)按照下列思路要求畫圖或判斷．

(1)在圖中畫出△APC繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后的圖形△AP₁B；

(2)試判斷△AP₁P的形狀，并說(shuō)明理由；

(3)試判斷△BP₁P的形狀，并說(shuō)明理由；

(4)由2，3兩問(wèn)可知：∠APB＝________．

李老師看過(guò)后，夸獎(jiǎng)了他們，同時(shí)提示他們?cè)囋囈訠點(diǎn)或C點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中點(diǎn)，對(duì)某個(gè)三角形進(jìn)行適當(dāng)?shù)匦�轉(zhuǎn)，看一看是否可以求出∠APB度數(shù)．你認(rèn)為可以嗎？如果可以，給出一種具體的旋轉(zhuǎn)方法；如果不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由．

把兩個(gè)全等的等腰直角三角板ABC和EFG(其直角邊邊長(zhǎng)均為4)疊放在一起(如圖甲)，且使三角板EFG的直角頂點(diǎn)G與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合，現(xiàn)將三角板EFG繞O點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角α滿足條件0°＜α＜90°)，四邊形CHGK是旋轉(zhuǎn)過(guò)程中兩三角板的重疊部分(如圖乙)，在上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，BH與CK有怎樣的數(shù)量關(guān)系？四邊形CHGK的面積有何變化？證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．

在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，點(diǎn)P是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以BP為邊長(zhǎng)作正方形PQRS，設(shè)BP＝x，正方形PQRS與矩形ABCD重合圖形(陰影部分)的周長(zhǎng)為y．如圖甲，圖乙所示，解答下列問(wèn)題：(1)分別寫出x＝2和x＝6時(shí)的y值；(2)分別寫出0＜x≤4和4≤x＜8時(shí)的函數(shù)解析式；(3)在下面的坐標(biāo)網(wǎng)格中畫出函數(shù)圖象．

學(xué)校閱覽室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一行，2張方桌拼成一行能坐6人(如圖)

(1)按照這種規(guī)定填寫下表：

(2)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，將s作為縱坐標(biāo)，n作為橫坐標(biāo)，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中找出相應(yīng)各點(diǎn)．

(3)請(qǐng)你猜一猜上述各點(diǎn)會(huì)在某一個(gè)函數(shù)圖象上嗎？如果在某一函數(shù)圖象上，求出該函數(shù)的解析式，并利用你探求的結(jié)果，求出當(dāng)n＝10時(shí)，s的值．

如圖a，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是(0，2)．一次函數(shù)y＝x＋t的圖象l隨t的不同取值時(shí)，位于l的右下方由l和正方形的邊圍成的圖形面積為s(陰影部分)．(1)當(dāng)t取何值時(shí)，s＝3？(2)在平面直角坐標(biāo)系中(圖b)，畫出s與t的函數(shù)圖象．

已知：正方形ABCD中，M為AB的中點(diǎn)，E為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，MN⊥DM交∠CBE的平分線于N(如圖)．

(1)求證：MD＝MN．

(2)若將上述條件的“M為AB中點(diǎn)”改成“M是AB上任一點(diǎn)”，其余條件不變(如圖)，則結(jié)論“MD＝MN”還成立嗎？如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)O是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F．

(1)試說(shuō)明OE＝OF；

(2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．