甲、乙、丙、丁四位同學(xué)圍成一圈依序循環(huán)報(bào)數(shù)，規(guī)定：   
 ①甲、乙、丙、丁首次報(bào)出的數(shù)依次為 1、2、3、4，接著甲報(bào) 5、乙報(bào)6····按此規(guī)律.后一位同學(xué)報(bào)出的數(shù)比前一位同學(xué)報(bào)出的數(shù)大1. 當(dāng)報(bào)到的數(shù)是50時(shí)，報(bào)數(shù)結(jié)束；   
 ②若報(bào)出的數(shù)為3的倍數(shù). 則報(bào)該數(shù)的同學(xué)需拍手一次，在此過程中，甲同學(xué)需要拍手的次數(shù)為（    ）次..

填在下面各正方形中的四個(gè)數(shù)之間都有相同的規(guī)律，根據(jù)這種規(guī)律，m 的值是（    ）。

按一定規(guī)律排列的一列數(shù)，依次為1，4，7，…，則第n個(gè)數(shù)是(    )

觀察下面的變形規(guī)律：   =1-；=-；=-；......  
解答下面的問題：  
（1）若n為正整數(shù)，請(qǐng)你猜想=         ；  
（2）證明的猜想的結(jié)論；  
（3）求和：+++......+

同學(xué)們，我們?cè)��?jīng)研究過n×n的正方形網(wǎng)格，得到了網(wǎng)格中正方形的總數(shù)的表達(dá)式為1²+2²+3²+···+n².但n為100時(shí)，應(yīng)如何計(jì)算正方形的具體個(gè)數(shù)呢？下面我們就一起來探究并解決這個(gè)問題. 首先，通過探究.我們已經(jīng)知道0×1+l×2+2×3+···+ (n-1)×n=n(n+1)(n-1)時(shí)，我們可以這樣做：
(1)觀察并猜想：
1²+2²=(1+0) ×1+ (1+ 1)×2= 1+0×1+ 2+ 1×2 = (1+ 2 ) + (0×1+1×2 )
1²+2²+3²
= (1+0)×1+ (1+1)×2+(1+2)×3    
= 1+0×1+2+1×2+3+2×3    
= (1+2+3)+(0×1+1×2+2×3)
1²+2²+3²+4²
=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3+            
= 1+0×1+2+ 1×2+3+2×3+    
= (1+2+3+4) +（     ）    
......
(2)歸納結(jié)論：    1²+ 2²+ 3²+... +n² 
 =(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3+···+[1+（n-1）]n    
=1+0×1+2+l×2+3+2×3+···+n+(n- 1)×n
=(        )+[       ]
=         +            
=×    
(3)實(shí)踐應(yīng)用：        
通過以上探究過程.我們就可以算出當(dāng)n為100時(shí)，正方形網(wǎng)格中正方形的總個(gè)數(shù)是          個(gè).

如下數(shù)表是由從1開始的連續(xù)自然數(shù)組成，觀察規(guī)律并完成各題的解答.    
(1)表中第8行的最后一個(gè)數(shù)是      ，它是自然數(shù)     的平方，第8行共有   個(gè)數(shù)；
(2)用含n的代數(shù)式表示：第n行的第一個(gè)數(shù)是   ，最后一個(gè)數(shù)是   ，第 n行共有  個(gè)數(shù)
(3)求第n行各數(shù)之和.

觀察下列算式：
①1×3-2²=3-4=-1
②2×4-3²= 8-9=-1
③3×5-4²=15-16=-1
④                 … …    
(1)請(qǐng)你按以上規(guī)律寫出第4個(gè)算式；    
(2)把這個(gè)規(guī)律用含字母的式子表示出來；
(3)你認(rèn)為(2)中所寫出的式子一定成立嗎？并說明理由.

我國(guó)古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”就是一例.如圖，這個(gè)三角形的構(gòu)造法則：兩腰上的數(shù)都是1. 其余每個(gè)數(shù)均為其上方左右兩數(shù)之和，它給出了(a+b)(n為正整數(shù))的展開式(按a的次數(shù)由大到小的順序排列)的系數(shù)規(guī)律. 例如. 在三角形中第三行的三個(gè)數(shù)1，2，1，恰好對(duì)應(yīng)(a+b)²=a²+2ab+b²展開式中的系數(shù)；第四行的四個(gè)數(shù) 1，3，3，1，恰好對(duì)應(yīng)著(a+b) ³= a ³+3a²+3ab²+b²展開式中的系數(shù)等等.    
(1)根據(jù)上面的規(guī)律，寫出(a+b)的展開式.   
(2)利用上面的規(guī)律計(jì)算：2-5×2+10×2³-10×2²+5×2-1 .

如圖，第（1）個(gè)多邊形由正三角形“擴(kuò)展”而來，邊數(shù)記為a₃，第（2）個(gè)多邊形由正方形“護(hù)展”而來，邊數(shù)記為a₄，…，依此類推，由正n邊形“護(hù)展”而來的多邊形的邊數(shù)記為a_n（a≥3）．則a₈的值是（    ）。

已知：A₃² =3×2=6，A₅³= 5×4×3=60，A₅⁴= 5×4×3×2=120，A₆⁴=6×5×4×3=360，…，觀察前面的計(jì)算過程，尋找計(jì)算規(guī)律計(jì)算A₇²=（     ）（直接寫出計(jì)算結(jié)果），并比較A₉⁵（     ）A₁₀³ （填“>”、“<“=”）