如圖，拋物線(xiàn)與軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交

于點(diǎn)C，且當(dāng)=0和=4時(shí)，y的值相等。直線(xiàn)y=4x-16與這條拋物線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，其中一點(diǎn)的橫坐標(biāo)是3，另一點(diǎn)是這條拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)M。

（1）求這條拋物線(xiàn)的解析式；

（2）P為線(xiàn)段OM上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥軸于點(diǎn)Q。若點(diǎn)P在線(xiàn)段OM上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P不與點(diǎn)O重合，但可以與點(diǎn)M重合），設(shè)OQ的長(zhǎng)為t，四邊形PQCO的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍；

（3）隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，四邊形PQCO的面積S有最大值嗎？如果S有最大值，請(qǐng)求出S的最大值并指出點(diǎn)Q的具體位置和四邊形PQCO的特殊形狀；如果S沒(méi)有最大值，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；

（4）隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，是否存在t的某個(gè)值，能滿(mǎn)足PO=OC？如果存在，請(qǐng)求出t的值。