Question

11．實際的電源都有一定的電阻，如干電池，我們需要用它的電壓 U 和電阻r兩個物理量來描述它．內阻會消耗電能并將其轉化為內能．實際計算過程中，可以把它看成是由一個電壓為 U、電阻為 0 的理想電源與一個電阻值為r的電阻串聯(lián)而成，如圖甲所示：如圖所示，將電阻為R接在電壓為U，內電阻大小為r的電源兩端，當開關閉合后：
（1）證明：電路的總電阻R_總=R+r
（2）求電源的輸出功率（即電阻R的電功率）
（3）當電阻R滿足什么條件時，電源的輸出功率最大？最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)電阻的串聯(lián)求解；
（2）由歐姆定律求出電路的電流，根據(jù)電功率P=I²R求電功率；
（3）電阻R的電功率P=I²R=$（\frac{U}{R+r}）^{2}R$，由數(shù)學知識求解．

解答 解：（1）實際的電源都有一定的電阻，可以把它看成是由一個電壓為U、電阻為0 的理想電源與一個電阻值為r的電阻串聯(lián)而成，將電阻為R接在電壓為U，內電阻大小為r的電源兩端，根據(jù)電阻的串聯(lián)規(guī)律，
電路的總電阻R_總=R+r；
（2）根據(jù)歐姆定律，電路中的電流I=$\frac{U}{{R}_{總}}=\frac{U}{R+r}$，電源的輸出功率，即電阻R的電功率P=I²R=$（\frac{U}{R+r}）^{2}R$=$\frac{{U}^{2}R}{（R+r）^{2}}$；
（3）電源的輸出功率：
P=$\frac{{U}^{2}R}{（R+r）^{2}}$=$\frac{{U}^{2}}{（r+R）^{2}\frac{1}{R}}$=$\frac{{U}^{2}}{\frac{{r}^{2}+2Rr{+R}^{2}}{R}}$=$\frac{{U}^{2}}{\frac{{r}^{2}-2Rr{+R}^{2}+4Rr}{R}}$=$\frac{{U}^{2}}{\frac{（r-R）^{2}+4Rr}{R}}$=$\frac{{U}^{2}}{\frac{（r-R）^{2}}{R}+4r}$，
可知當R=r時，分母最小，P最大．
最大功率P_大=$\frac{{U}^{2}}{4R}$．
答：（1）證明如上；
（2）電源的輸出功率為$\frac{{U}^{2}R}{（R+r）^{2}}$；
（3）當電阻R=r時，電源的輸出功率最大；最大值為$\frac{{U}^{2}}{4R}$．

點評 本題考查串聯(lián)電路的規(guī)律及歐姆定律、電功率公式和數(shù)學知識的運用，體現(xiàn)了與高中物理知識的銜接，難度較大．