Question

3．如圖甲是一種新型吊運設(shè)備的簡化模型示意圖，圖中OC是一根以O(shè)點為支點的水平杠桿，AB表示對杠桿起固定作用且不可伸縮的纜繩，OC、AB的長度均為5m，BC的長度為1m．圖中滑輪組繩子的自由端由電動機拉動，定滑輪的軸和電動機均固定在B點．
在某次作業(yè)中，該吊運設(shè)備勻速豎直提升重為2000N物體，此時滑輪組的機械效率為80%，電動機做的功跟時間的變化關(guān)系如乙圖所示．不考慮杠桿的質(zhì)量、滑輪組繩子的質(zhì)量、滑輪與軸和繩子間的摩擦：
（1）求此次作業(yè)中物體勻速上升的速度為多大？繩子自由端的拉力為多大？
（2）另一次作業(yè)中，利用該設(shè)備以相同的速度勻速提升重為3500N的物體，滑輪組的機械效率、電動機的輸出功率分別用η₂、P₂表示，若第一次作業(yè)中滑輪組的機械效率、電動機的輸出功率分別用η₁、P₁表示，則η₂＞η₁，P₂＞P₁．
（3）兩次作業(yè)中纜繩AB的拉力變化了3000N，求纜繩AB拉力的力臂為多少m？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖象求出電動機做功的功率，根據(jù)滑輪組的機械效率求出有用功率，又知道重物的重力即可利用P=Gv求出物體上升的速度；
由圖可知：滑輪組的繩子股數(shù)n=3，繩子自由端的速度v′=nv，根據(jù)W=Fv′求出拉力；
（2）不考慮杠桿的質(zhì)量、滑輪組繩子的質(zhì)量、滑輪與軸和繩子間的摩擦，根據(jù)公式η=$\frac{{W}_{有用}}{{W}_{總}}$=$\frac{Gh}{Gh+{G}_{動}h}$=$\frac{G}{G+{G}_{動}}$比較滑輪組的機械效率；
根據(jù)W=Gh，根據(jù)W_總=W_有用+W_額外，比較出總功的大小，利用P=$\frac{W}{t}$比較功率；
（3）根據(jù)杠桿平衡條件列出兩次平衡的等式，結(jié)合拉力之差為3000N，即可求出拉力的力臂．

解答 解：（1）由圖象可知，t=5s時，W=2500J，則電動機做功的功率：P_總=$\frac{W}{t}$=$\frac{2500J}{5s}$=500W，
由η=$\frac{{W}_{有用}}{{W}_{總}}$=$\frac{{P}_{有用}}{{P}_{總}}$得：P_有用=P_總η=500W×80%=400W，
由P=Gv可得，物體上升的速度：v_物=$\frac{{P}_{有用}}{G}$=$\frac{400W}{2000N}$=0.2m/s，
由圖可知：滑輪組的繩子股數(shù)n=3，繩子自由端的速度v′=nv=3×0.2m/s=0.6m/s，
由P=Fv′得拉力：F=$\frac{{P}_{總}}{v′}$=$\frac{500W}{0.6m/s}$≈833.3N．
（2）不考慮杠桿的質(zhì)量、滑輪組繩子的質(zhì)量、滑輪與軸和繩子間的摩擦，
根據(jù)公式η=$\frac{{W}_{有用}}{{W}_{總}}$=$\frac{Gh}{Gh+{G}_{動}h}$=$\frac{G}{G+{G}_{動}}$可知：
當(dāng)G₂＞G₁時，η₂＞η₁；
根據(jù)W=Gh可知：W_有用2＞W(wǎng)_有用1，而額外功相同，
所以，W_總2＞W(wǎng)_總1，
由于以相同的速度勻速提升重為3500N的物體，則所用時間相同，
根據(jù)P=$\frac{W}{t}$可知：P₂＞P₁．
（3）不考慮杠桿的質(zhì)量、滑輪組繩子的質(zhì)量、滑輪與軸和繩子間的摩擦：F₂=G₁+G_電動機，
根據(jù)杠桿平衡條件F₁L₁=F₂L₂得：
勻速提升重為2000N的物體時，F(xiàn)₁L₁=（G₁+G_電動機）L₂，---------①
勻速提升重為3500N的物體時，由題意可知：F₁′=F₁+3000N，F(xiàn)₂′=G₂+G_電動機，
根據(jù)杠桿平衡條件F₁′L₁=F₂′L₂，得：（F₁+3000N）L₁=（G₂+G_電動機）L₂，---------②
②-①得：3000N×L₁=（3500N-2000N）×4m，
解得：L₁=2m．
答：（1）此次作業(yè)中物體勻速上升的速度為0.2m/s；繩子自由端的拉力為833.3N；
（2）＞；＞；
（3）纜繩AB拉力的力臂為2m．

點評 此題是簡單機械、浮力、功率、機械效率綜合計算題，難度較大．