Question

5．如圖所示，將底面半徑為2R的圓柱形薄壁容器（不計容器重）放在水平桌面上，把高為h、密度為ρ（ρ＜ρ_水）、半徑為R的實心圓柱體木塊豎直放在容器中，然后向容器內(nèi)注水，則（　�。�

• A． 注水前，木塊對容器底的壓力為ρgh
• B． 注水前，容器對水平桌面的壓強(qiáng)為$\frac{ρgh}{2}$
• C． 若注入與木塊等質(zhì)量的水，那么水對容器底的壓強(qiáng)為$\frac{ρgh}{4}$
• D． 若使木塊豎直漂浮，向容器中注入水的質(zhì)量至少為3πR²ρh

Answer 1

分析 （1）知道木塊的底面積和高，求出木塊的體積，知道木塊的密度，利用m=ρV求木塊的質(zhì)量，利用G=mg求木塊的重力，木塊對容器底的壓力等于木塊的重力；
（2）知道受力面積，利用壓強(qiáng)公式p=$\frac{F}{S}$求木塊對容器底的壓強(qiáng)；
（3）由于注入與木塊等質(zhì)量的水后，木塊的狀態(tài)影響水的深度，所以是否浮起是關(guān)鍵，利用假設(shè)法求出木塊不浮起時木塊受到的浮力，與木塊的重力比較即可判斷；
若沒有浮起，則此時水的速度與木塊沒有浮起時的深度相同；若浮起，則水的深度為木塊浸沒的深度和木塊下部容器中的水的深度之和；
判斷出水的實際深度即可利用p=ρgh求水對容器底的壓強(qiáng)；
（4）若使木塊豎直漂浮，注入水的質(zhì)量最少，即木塊與容器底接觸且木塊對容器底的壓力恰好為零，此時木塊所受的浮力等于自身的重力；根據(jù)公式F_浮=ρgV_排可求木塊排開水的體積；從而求出木塊浸入水中的深度；根據(jù)公式V=Sh可求注入水的體積；根據(jù)公式m=ρV可求注入水的質(zhì)量．

解答 解：
（1）木塊的體積：V=Sh=πR²h，
由ρ=$\frac{m}{V}$得木塊的質(zhì)量：m=ρV=ρπR²h，
木塊的重力：G=mg=ρπR²hg，
木塊對容器底的壓力：F=G=mg=ρπR²hg，故A錯誤；
（2）木塊對容器底的壓強(qiáng)：
p=$\frac{F}{S}$=$\frac{ρShg}{S}$=ρhg，故B錯誤；
（3）當(dāng)注入與木塊等質(zhì)量的水，由ρ=$\frac{m}{V}$得在水的體積為：V_水=$\frac{m}{{ρ}_{水}}$=$\frac{ρSh}{{ρ}_{水}}$=$\frac{ρπ{R}^{2}h}{{ρ}_{水}}$；
假設(shè)木塊沒有離開容器底部，則此時水的深度為：h′=$\frac{{V}_{水}}{{S}_{容器}-{S}_{木}}$=$\frac{\frac{ρπ{R}^{2}h}{{ρ}_{水}}}{π（2R）^{2}-π{R}^{2}}$=$\frac{ρh}{3{ρ}_{水}}$；
此時木塊受到的浮力F_浮′=ρ_水gV_排=ρ_水gS_木h′=ρ_水gπR²×$\frac{ρh}{3{ρ}_{水}}$=$\frac{1}{3}$ρπR²hg＜G；
即木塊沒有浮起，則水的實際深度為h′=$\frac{ρh}{3{ρ}_{水}}$；
所以，水對容器底的壓強(qiáng)為p_水=ρ_水gh′=ρ_水g$\frac{ρh}{3{ρ}_{水}}$=$\frac{1}{3}$ρhg；故C錯誤；
（4）當(dāng)木塊與容器底接觸且木塊對容器底的壓強(qiáng)恰好為零時，此時注入水的質(zhì)量最少，
F_浮=G=mg=ρShg=ρπR²hg，
由F_浮=ρgV_排得：
木塊排開水的體積：
V_排=$\frac{{F}_{浮}}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{ρπ{R}^{2}hg}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{ρπ{R}^{2}h}{{ρ}_{水}}$，
木塊浸入水中的深度：
h_水=$\frac{{V}_{排}}{{S}_{木}}$=$\frac{\frac{ρπ{R}^{2}h}{{ρ}_{水}}}{π{R}^{2}}$=$\frac{ρh}{{ρ}_{水}}$，
注入水的體積為：
V_水=（S_容器-S_木）h_水=[π（2R）²-πR²]×$\frac{ρh}{{ρ}_{水}}$=3πR²$\frac{ρh}{{ρ}_{水}}$；
注入水的質(zhì)量：
m_水=ρ_水V_水=ρ_水3πR²$\frac{ρh}{{ρ}_{水}}$=3πR²ρh，故D正確．
故選D．

點評 本題為力學(xué)綜合題，考查了學(xué)生對密度公式、重力公式、壓強(qiáng)公式、阿基米德原理、物體的漂浮條件的掌握和運用，難點在第三問，關(guān)鍵是注入的水深度的判斷，就是利用假設(shè)法根據(jù)木塊是否浮起得出水的實際深度；難點在第四問，知道使物體對容器底的壓力為零時浮力等于重力是本題的關(guān)鍵．