Question

6．用同種材料制成的兩個圓柱體A和B，A的高度是B的高度的3倍，A放在B上，B放在地面上，如圖甲所示，A對B的壓強(qiáng)和B對地面的壓強(qiáng)相等，則A與B的底面積之比為2：3；現(xiàn)將A和B倒置，如圖乙所示，則A對地面的壓強(qiáng)與B對A的壓強(qiáng)之比為3：1

Answer 1

分析 （1）已知A的高度是B的高度的3倍和壓強(qiáng)相同，又因為密度相同可求出體積之比，從而算出底面積之比．
（2）A、B對地面的壓力等于自身的重力，已知底面積之比，根據(jù)公式F=pS可求對地面的壓力之比，也就是重力之比；
把B疊放在A上后，A對地面的壓力等于A、B的重力之和，根據(jù)公式p=$\frac{F}{S}$求出此時A對地面的壓強(qiáng)，進(jìn)一步求出p_A′與p_B′之比．

解答 解：（1）A對B的壓強(qiáng)p_A=$\frac{{G}_{A}}{{S}_{A}}$=$\frac{{m}_{A}g}{{S}_{A}}$=$\frac{{ρ}_{A}g{S}_{A}{h}_{A}}{{S}_{A}}$=ρgh_A，
B對地的壓強(qiáng)p_B=$\frac{{G}_{A}+{G}_{B}}{{S}_{B}}$=$\frac{ρg{S}_{A}{h}_{A}+ρg{S}_{B}{h}_{B}}{{S}_{B}}$=$\frac{ρ{S}_{A}{h}_{A}g}{{S}_{B}}$+ρh_Bg，
因為p_A=p_B，
ρgh_A=$\frac{ρ{S}_{A}{h}_{A}g}{{S}_{B}}$+ρh_Bg，①
又因為h_A=3h_B，
所以ρg3h_B=$\frac{ρ{S}_{A}3{h}_{B}g}{{S}_{B}}$+ρh_Bg，②
①②整理可得$\frac{{S}_{A}}{{S}_{B}}$=$\frac{{h}_{A}-{h}_{B}}{{h}_{A}}$=$\frac{3-1}{3}$=$\frac{2}{3}$                               
（2）現(xiàn)將A和B倒置，則A對地面的壓強(qiáng)p_A′=$\frac{{G}_{A}{+G}_{B}}{{S}_{A}}$
B對A的壓強(qiáng)p_B′=$\frac{{G}_{B}}{{S}_{A}}$，
$\frac{{p}_{A}^{′}}{{p}_{B}^{′}}$=$\frac{{S}_{A}}{{S}_{A}}$×$\frac{{G}_{A}+{G}_{B}}{{G}_{B}}$=（$\frac{{G}_{A}}{{B}_{B}}$+1）=（$\frac{ρg{S}_{A}{h}_{A}}{ρg{S}_{B}{h}_{B}}$+1）=（$\frac{2}{3}$×$\frac{3}{1}$+1）=3．
故答案為：2：3；3：1．

點評 本題考查壓強(qiáng)的大小之比，關(guān)鍵是壓強(qiáng)公式及其變形的靈活運(yùn)用，要知道在水平面上物體對地面的壓力等于物體自身的重力．