Question

10．如圖是一種牲畜飲水用自動裝置的示意圖．水箱底部有一出水孔，底蓋A可以頂住水箱的出水孔．只要牲畜飲水，飲水槽中的水位就會下降，浮球C受到的浮力減小，底蓋A打開，水就會通過出水孔從水箱流入飲水槽自動補水．設計水箱的最高水位為h₁，水箱出水孔橫截面積是30cm²，底蓋A及豎桿B的總質(zhì)量是400g，浮球C的體積是2dm³；若將浮球C換成同體積的浮球D，設計水箱的最高水位將變?yōu)閔₂，已知將浮球C換成同體積的浮球D后，再次達到設計水箱的最高水位時，水箱底部受到水的壓強減小了2000Pa，浮球C與浮球D的密度之比ρ_C：ρ_D=2：5．（g取10N/kg）
求：（1）浮球D的密度 ρ_D；
（2）設計水箱的最高水位h₁．

Answer 1

分析 本題要以底蓋、豎桿、浮球為整體，進行受力分析．
（1）由于C球和D球的體積相同，所以兩種情況下的浮力是相等的．列出兩種情況下的浮力的表達式，然后根據(jù)將浮球C換成同體積的浮球D后，再次達到設計水箱的最高水位時，水箱底部受到水的壓強減小了2000Pa這一條件求出浮球C和D的密度．
（2）把求得的浮球C的密度代入浮力的表達式即可得解．

解答 解：
（1）以底蓋、豎桿、浮球為整體，如右圖可知：整體受到向上的浮力F_浮、水向下的壓力和底蓋、豎桿、浮球的總重力作用；
底蓋、豎桿、浮球的總重力G_總=G_AB+G_球=m_ABg+m_球g=m_ABg+ρ_球V_球g，
水對底蓋A向下的壓力F_壓=pS，
由于底蓋A剛剛能打開時，底蓋、豎桿、浮球處于平衡狀態(tài)，
則使用浮球C時：F_浮C=m_ABg+ρ_CgV_球+p₁S-----------①
使用浮球D時：F_浮D=m_ABg+ρ_DgV_球+p₂S-----------②
由于浮球C和浮球D的體積相同，則根據(jù)F_浮=ρ_液gV_排可知：F_浮C=F_浮D；
所以，m_ABg+ρ_CgV_球+p₁S=m_ABg+ρ_DgV_球+p₂S，
則：（ρ_D-ρ_C）gV_球=（p₁-p₂）S，
所以，ρ_D-ρ_C=$\frac{{（p}_{1}-{p}_{2}）S}{g{V}_{球}}$=$\frac{2000Pa×30×1{0}^{-4}{m}^{2}}{10N/kg×2×1{0}^{-3}{m}^{3}}$=0.3×10³ kg/m³，
已知：ρ_C：ρ_D=2：5．
則ρ_C=0.2×10³ kg/m³，ρ_D=0.5×10³ kg/m³；
（2）由①式可得：F_浮C=m_ABg+ρ_CgV_球+p₁S，
結(jié)合阿基米德原理和液體壓強公式可得：ρ_水gV_球=m_ABg+ρ_CgV_球+ρ_水gh₁S；
所以，設計水箱的最高水位：
h₁=$\frac{{ρ}_{水}{V}_{球}-{ρ}_{C}{V}_{球}-{m}_{AB}}{{ρ}_{水}S}$
=$\frac{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×2×1{0}^{-3}{m}^{3}-0.2×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×2×1{0}^{-3}{m}^{3}-0.4kg}{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×30×1{0}^{-4}{m}^{2}}$
=0.4m． 
答：（1）浮球D的密度 ρ_D為0.5×10³ kg/m³．
（2）設計水箱的最高水位h₁為0.4m．

點評 本題考查了學生對重力公式、阿基米德原理的掌握和運用，在做此種類型的題目時要求靈活選用公式．同時對物體的受力分析一定要準確．