Question

20．小陽同學在科技月制作了一個多檔位電熱器模型．為了分析接入電路的電阻對電熱器的電功率的影響，他將電表接入電路中，其電路如圖所示，電源兩端電壓不變，R₁=30Ω．當開關(guān)S閉合，S₁、S₂斷開時，電壓表示數(shù)為U₁，當S、S₁、S₂都閉合時，電壓表示數(shù)為U₂，已知U₁：U₂=3：8；兩種狀態(tài)時，R₂消耗的功率最大值P_大和最小值P_小之比為4：1；R₃的最小功率為0.9W．請你幫小陽完成下列問題．
（1）畫出上述兩個狀態(tài)的等效電路圖．
（2）計算電阻R₂的阻值．
（3）計算電源兩端的電壓．
（4）計算這個電熱器模型最大檔位和最小檔位對應的功率分別是多少？

Answer 1

分析 （1）當開關(guān)S閉合，S₁、S₂斷開時，三電阻串聯(lián)，電壓表測R1兩端的電壓；當S、S₁、S₂都閉合時，三電阻并聯(lián)，電壓表測電源的電壓，電流表測R₁和R₂支路的電流之和，據(jù)此畫出等效電路圖；
（2）根據(jù)并聯(lián)電路的電壓特點可知圖2中電壓表的示數(shù)和電源的電壓相等，根據(jù)串聯(lián)電路的電流特點和歐姆定律表示出U₁：U₂=3：8即可求出圖1的總電阻，根據(jù)歐姆定律求出圖1中電路中的電流，根據(jù)P=IR₂表示出R₂的最小電功率，根據(jù)P=$\frac{{U}^{2}}{R}$表示出R₂的最大總功率，利用R₂消耗的功率最大值P_大和最小值P_小之比為4：1即可求出R₂的阻值；
（3）根據(jù)串聯(lián)電路的電壓特點求出圖1中R₃的阻值，根據(jù)P=I²R表示出R₃的最小功率即可求出電源的電壓；
（4）圖1中，電路中的電流最小，電路的總功率最小，根據(jù)P=$\frac{{U}^{2}}{R}$求出電熱器的最小總功率；圖2中，三電阻兩端的電壓最大，電路的總功率最大，根據(jù)P=$\frac{{U}^{2}}{R}$求出電熱器的最答總功率．

解答 解：（1）當開關(guān)S閉合，S₁、S₂斷開時，等效電路圖如圖1所示；當S、S₁、S₂都閉合時，等效電路圖如圖2所示：

（2）因并聯(lián)電路中各支路兩端的電壓相等，
所以，由圖2可知，電壓表的示數(shù)U₂=U，
圖1中，因串聯(lián)電路中各處的電流相等，
所以，$\frac{{U}_{1}}{{U}_{2}}$=$\frac{{U}_{1}}{U}$=$\frac{I{R}_{1}}{I{R}_{總}}$=$\frac{{R}_{1}}{{R}_{總}}$=$\frac{30Ω}{{R}_{總}}$=$\frac{3}{8}$，
解得：R_總=80Ω，
電路中的電流I=$\frac{U}{{R}_{總}}$=$\frac{U}{80Ω}$，
圖1中電路中的電流最小，R₂和R₃的電功率最小，則P_小=I²R₂=（$\frac{U}{{R}_{總}}$）²R₂=$\frac{{U}^{2}{R}_{2}}{{{R}_{總}}^{2}}$，
圖2中R₂兩端的電壓最大，功率最大，則P_大=$\frac{{U}^{2}}{{R}_{2}}$，
因P_大：P_小=4：1，
所以，$\frac{{P}_{大}}{{P}_{小}}$=$\frac{\frac{{U}^{2}}{{R}_{2}}}{\frac{{U}^{2}{R}_{2}}{{{R}_{總}}^{2}}}$=（$\frac{{R}_{總}}{{R}_{2}}$）²=$\frac{4}{1}$，
解得：R₂=$\frac{1}{2}$R_總=$\frac{1}{2}$×80Ω=40Ω；
（3）圖1中，因串聯(lián)電路中總電壓等于各分電壓之和，
所以，R₃的阻值：
R₃=R_總-R₁-R₂=80Ω-30Ω-40Ω=10Ω，
R₃的最小功率：
P₃=I²R₃=（$\frac{U}{{R}_{總}}$）²R₃=（$\frac{U}{80Ω}$）²×10Ω=0.9W，
解得：U=24V；
（4）圖1中，電路中的電流最小，電路的總功率最小，
則P_總小=$\frac{{U}^{2}}{{R}_{總}}$=$\frac{（24V）^{2}}{80Ω}$=7.2W，
圖2中，三電阻兩端的電壓最大，電路的總功率最大，
則P_總大=$\frac{{U}^{2}}{{R}_{1}}$+$\frac{{U}^{2}}{{R}_{2}}$+$\frac{{U}^{2}}{{R}_{3}}$=$\frac{（24V）^{2}}{30Ω}$+$\frac{（24V）^{2}}{40Ω}$+$\frac{（24V）^{2}}{10Ω}$=91.2W．
答：（1）上述兩個狀態(tài)的等效電路圖如上圖所示；
（2）電阻R₂的阻值為40Ω；
（3）電源兩端的電壓為24V；
（4）這個電熱器模型最大檔位和最小檔位對應的功率分別為91.2W、7.2W．

點評 本題考查了串并聯(lián)電路的特點和歐姆定律、電功率公式的應用，畫出兩種情況下的等效電路圖是解題的基礎(chǔ)，利用所給的電壓關(guān)系和功率關(guān)系是關(guān)鍵．