Question

4．如圖所示，將邊長為10cm的密度均勻的正方體木塊平放在圓柱形容器的底部，圓柱形容器的很橫截面積為180cm²，此時正方體木塊對圓柱形容器的底部的壓強是800Pa．（容器足夠高）
（1）求木塊的密度ρ_木．
（2）緩慢地往容器中注入730g水后，求木塊對容器底部的壓強和木塊所受的浮力．
（3）求出此時容器中水面的高度．

Answer 1

分析 （1）設正方體木塊的邊長為L，圓柱形容器的橫截面積為S，根據此時正方體木塊對圓柱形容器的底部的壓強是800Pa，可求出正方體木塊對圓柱形容器的底部的壓力，此時壓力即為其重力，再根據G=mg可得出其質量，再利用ρ=$\frac{m}{V}$可求得木塊的密度．
（2）假設木塊與容器底接觸且受力，利用密度公式求出排開水的質量，然后與注入水的質量比較，判斷木塊在水中的狀態(tài)，然后計算木塊對容器底部的壓強和木塊所受的浮力．
（3）根據F_浮=ρ_水gV_排=ρ_水Sgh′求出木塊浸入水中的深度，進而求出注入730g水后水面上升的高度，最后求出此時容器中水面的高度．

解答 解：（1）設正方體木塊的邊長為L，因此時正方體木塊對圓柱形容器的底部的壓強是800N/m²．圓柱形容器的橫截面積為S．
所以由p=$\frac{F}{S}$=$\frac{F}{{L}^{2}}$，可得F=pL²=800N/m²×100×10^-4m²=8N，
則G=F=8N，m_木=$\frac{G}{g}$=$\frac{8N}{10N/kg}$=0.8kg．
ρ_木=$\frac{{m}_{木}}{{L}^{3}}$=$\frac{0.8kg}{1{0}^{-3}{m}^{3}}$=0.8×10³ kg/m³．
（2）假設木塊與容器底接觸且受力，
根據ρ=$\frac{m}{V}$可得，水的體積V'=$\frac{{m}_{水}}{{ρ}_{水}}$=$\frac{730g}{1g/c{m}^{3}}$=730cm³，
水與容器接觸面積S'=180cm²-（10cm）²=80cm²，
水高度h=$\frac{V′}{S′}$=$\frac{730c{m}^{3}}{80c{m}^{2}}$=9.125cm＜10cm，
排水體積V''=100cm²×9.125cm=912.5cm³，
排水質量M'=ρ_水V''=1g/cm³×912.5cm³=912.5g＞m_水，假設不成立，
所以木塊漂浮，對容器底部壓強為0，木塊受到浮力等于重力，浮力F=8N；
（3）因為F_浮=ρ_水gV_排=ρ_水Sgh′，
所以，h'=$\frac{{F}_{浮}}{{ρ}_{水}Sg}$=$\frac{8N}{1×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×（0.1m）^{2}×10N/kg}$=0.08m=8cm，
此部分水體積V₁=80cm²×8cm=640cm³，
剩余水體積V₂=730cm³-640cm³=90cm³，
高度h''=$\frac{{V}_{2}}{{S}_{容}}$=$\frac{90c{m}^{3}}{180c{m}^{2}}$=0.5cm，
容器水面高度H=h'+h''=8cm+0.5cm=8.5cm．
答：（1）木塊的密度ρ_木是0.8×10³ kg/m³．
（2）緩慢地往容器中注入730g水后，木塊對容器底部的壓強為0Pa；木塊所受的浮力為8N．
（3）此時容器中水面的高度為8.5cm．

點評 此題考查壓強和浮力的計算，同時考查重力、密度公式的應用、阿基米德原理和物體浮沉條件及其應用，是一道綜合性很強的題目，也是一道難度很大的題目，特別是（2）需要用極端假設法求解．