Question

7．一條河道被一行窄而淺的沙石隔成兩條流速不同的支流．船從岸邊A點開始渡河到對岸，船相對水的速度大小始終不變．已知船渡河的最短路徑如圖所示，船最終到達(dá)了對岸B點，船先后渡過兩條支流的時間恰好相等，且α=53°，β=37°．則兩條支流的水速之比v₁：v₂=3：4，兩條支流的寬度之比d₁：d₂=3：4．

Answer 1

分析 （1）知道船渡河的最短路徑時需要船頭指向應(yīng)該與位移軌跡垂直，然后根據(jù)三角函數(shù)分別表示出船相對水的速度，根據(jù)船相對水的速度大小始終不變，即可求出比值．
（2）根據(jù)求出的速度比值，利用s=vt和三角函數(shù)表示的寬度關(guān)系求出比值．

解答 解：（1）由于船渡河的最短路徑，則運動時船頭指向應(yīng)該與位移軌跡垂直，如圖：

則由圖可知：v_船=v₁sinα=v₁sin53°=v₁×0.8=0.8v₁，
v_船=v₂sinα=v₂sin37°=v₂×0.6=0.6v₂，
由于船相對水的速度大小始終不變，則0.8v₁=0.6v₂，
所以，v₁：v₂=3：4．
（2）由于船先后渡過兩條支流的時間恰好相等，根據(jù)v=$\frac{s}{t}$可知s=vt，
則船航行路程：
s₁：s₂=vt：v′t=v：v′=v₁cosα：v₂cosβ=v₁cos53°：v₂cos37°=3×0.6：4×0.8=9：16，
由圖可知：
d₁：d₂=s₁sin53°：s₂sin37°=9×0.8：16×0.6=3：4．
故答案為：3：4；3：4．

點評 本題考查速度公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是注意本題中的兩個相等的條件：船相對水的速度大小始終不變，船先后渡過兩條支流的時間恰好相等；難點是知道船渡河的最短路徑時運動時船頭指向應(yīng)該與位移軌跡垂直；同時本題考查速度的合成，會利用三角函數(shù)，熟練應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解答本題中的各邊之間的關(guān)系．