Question

13．如圖所示，一個(gè)無窮電阻網(wǎng)絡(luò)，每個(gè)電阻均為R，試求兩點(diǎn)間的等效電阻

Answer 1

分析 把網(wǎng)絡(luò)自CD截成兩部分，等效電路圖如圖所示，R_n-1為無限部分的總電阻；CD之間向右的部分（不包括標(biāo)R的一個(gè)電阻），所有電阻的等效電阻組成的電路的電阻值也是相等的，然后由串并聯(lián)電路的電阻值的特點(diǎn)即可求出．

解答 解：把網(wǎng)絡(luò)自CD截成兩部分，等效電路圖如圖所示，R_n-1為無限部分的總電阻．

可知：R_AB=2R+R_CD，其中R_CD=$\frac{R•{R}_{n-1}}{R+{R}_{n-1}}$，故R_AB=2R+$\frac{R•{R}_{n-1}}{R+{R}_{n-1}}$，
分析網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，由極限概念可知，當(dāng)n→∞時(shí)，R_AB=R_n=R_n-1=R_∞，
因此有 R_∞=2R+$\frac{R•{R}_{n-1}}{R+{R}_{n-1}}$，即：R²-2R•R_∞-2R²=0，
解得：R_∞=（1±$\sqrt{3}$）R
因R必為正，舍去負(fù)根，
所以，A、B間的等效電阻為：
R_AB=R_∞=（1+$\sqrt{3}$）R
答：A、B間的等效電阻R_AB是（1+$\sqrt{3}$）R．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了串并聯(lián)電路的特點(diǎn)和計(jì)算，關(guān)鍵是搞清楚電路的結(jié)構(gòu)，難度適中．