Question

【題目】如圖所示，屋架由同一豎直面內的多根無重桿絞接而成，各絞接點依次為1，2，…，9，其中，絞接點8、2、5、7、9位于同一水平直線上，且9可以無摩擦地水平滑動。各絞接點間沿水平方向上的間距和沿豎直方向上的間距如圖所示，絞接點3承受由豎直向下的壓力，點1承受有豎直向下的壓力，求鉸接點3和4間桿的內力.

Answer 1

【答案】

【解析】

如圖甲所示,屋架由同一豎直面內的多根無重桿鉸接而成,各鉸接點依次為,其中,鉸接點位于同一水平直線上,且9可以無摩擦地水平滑動.各鉸接點間沿水平方向上的間距和沿豎直方向上的間距如圖甲所示,鉸接點3承受有豎直向下的壓力,點1承受有豎直向下的壓力,求鉸接點3和4間桿的內力。

方法1：由于點9可沿水平方向無摩擦滑動,故屋架在點9處所受外力只可能沿豎直方向,設為.由于屋架所受外力、和均沿豎直方向,則屋架在點8所受的外力也只可能沿豎直方向,設其為。

以整個屋架為對象,列出各外力對支點8的力矩平衡方程,有

,

所以,,

的方向豎直向上。

又由整個屋架的受力平衡關系,應有

，

所以,，

的方向豎直向上。

假設將鉸接點5、6、7、9這部分從整個屋架中隔離出來,則這部分受到桿15、桿47、桿36的作用,這幾個作用力均沿與桿15平行的方向,設其以一個力表示,則這個力也必與桿15方向平行,此外,這部分還受到桿25的作用,設其為,顯然的方向應沿水平方向;這部分還受到支持力的作用.這樣,這部分就等效為受、和三個力的作用而平衡.由此表示此三力的矢量構成一個封閉三角形,由前述此三力的方向關系可以確定,這一三角形只能是如圖乙所示的三角形。

由此三角形可見

.

桿25對點5的作用力方向水平向左,可見桿25中的內力為張力。

又假設取鉸接點8為研究對象,它受到支持力和桿82對它的作用力和桿81對它的作用力,由于此三力平衡,則與的合力必沿桿81的方向，可見應有

且的方向應水平向右,即桿82的內力為張力

再假設取鉸接點2為研究對象，由以上分析知,其左、右兩水平桿對它的作用力均為拉力,其大小分別為和,而另外只有桿24能對點2提供水平方向的分力,則為使點2在水平方向受力平衡,桿24作用于點2的力必沿由2指向點4的方向,進而為使點2在豎直方向上受力平衡,則桿12對點2的作用力必沿豎直向下的方向。

綜合上述,可得點2的受力如圖丙所示。

由圖知

,

故得.

即桿24中的內力為張力,其大小為.

最后以點4為研究對象,它受到與之相連的三根桿的三個力的作用.此三力應互相平衡.現以表示這三個力,由于的方向是確定的(桿42的內力為張力,則必沿由點4指向點2的方向),而又只能沿對應桿的方向,則此三力只可能取如圖丁所示的方向.由點4在水平方向的受力平衡,應有

，

所以,.

由點4在豎直方向的平衡,應有

.

即桿43中的內力為張力,大小為.