Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，證明a>0，并利用二分法證明方程f(x)＝0在區(qū)間[0,1]內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】試題分析：根據(jù)函數(shù)解析式代入f（0）＞0、f（1）＞0，得c＞0且3a+2b+c＞0，結(jié)合a+b+c=0化簡(jiǎn)即可得到a＞0；利用a+b+c=0化簡(jiǎn)得f()＝- ,結(jié)合a>0，可得f()<0，由f()與f(0)，f(1)都異號(hào)，利用零點(diǎn)存在性定理得f(x)＝0在區(qū)間和上各有一個(gè)零點(diǎn)，由此可得f(x)＝0在區(qū)間[0,1]內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根.

試題解析：

∵f(1)>0，∴3a＋2b＋c>0，

即3(a＋b＋c)－b－2c>0.

∵a＋b＋c＝0，∴－b－2c>0，

則－b－c>c，即a>c.

∵f(0)>0，∴c>0，則a>0.

在區(qū)間[0,1]內(nèi)選取二等分點(diǎn)，

則f＝a＋b＋c＝a＋(－a)＝－a<0.

∵f(0)>0，f(1)>0，

∴函數(shù)f(x)在區(qū)間和上各有一個(gè)零點(diǎn)．

又f(x)最多有兩個(gè)零點(diǎn)，從而f(x)＝0在[0,1]內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根．