Question

【題目】三根質(zhì)量為、長為的相同均質(zhì)棒。如圖所示地靠在一起，三棒與地接觸點的連線成一邊長為的正三角形，已知三棒與地之間的摩擦系數(shù)相等.

（1）試求棒頂點所受作用力的大小與方向.

（2）若在棒的中點固定一質(zhì)量也為的小球，再求其頂端所受作用力的大小與方向.

（3）要使體系保持靜止，則棒與地面之間的摩擦系數(shù)至少為多大？

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）三根棒的頂端相互靠在一起，如圖甲所示. 由對稱性及牛頓第三定律可知，任何一棒（如棒）的頂端受到其余兩棒對它的作用力的合力必沿水平方向，如圖乙所示.

在圖甲中是的中點，有，.

由棒所受外力相對點力矩平衡，得，可解得.

（2）當棒的中點固定一質(zhì)量也為的小球后，三棒的受力情況都發(fā)生了改變，且不再對稱，但與兩棒受力情況相同，此二棒頂端的受力可看成是除原受力外，再各受一個力和的作用，且有. 既然此二棒仍平衡，可見和必沿各自棒的方向，故這兩力的合力沿方向，其反作用力作用于棒的頂端，如圖丙所示.

由和小球重力相對點合力矩為零，可得，可解得.

由圖丙所示的和的矢量關系，即可求得棒頂端所受的作用力為.

（3）由棒所受的豎直方向和水平方向合外力為零，可分別得

，.

將代入，可解得，.

因為，可得.

棒的受力情況如圖丁所示. 由此棒豎直方向和水平方向合外力為零，可分別得

，.

由圖戊所示的矢量關系，可得、與的關系為，

即.

由此而得，.

再由，可得.

由于、棒受力情況完全相同，故棒平衡所需的最小摩擦系數(shù)與棒相等. 比較與的大小，即可的棒與地面的摩擦系數(shù)應滿足.

本題是有關空間力系的經(jīng)典試題，涉及空間幾何關系的運算、對稱分析、一般物體的平衡研究、臨界狀態(tài)的分析、不確定關系的判斷等等.

對于第（3）問的求解，除了對空間問題的認識可能出現(xiàn)錯誤外，很容易遺漏對或棒平衡所需最小摩擦系數(shù)的討論和求解，誤以為小球是固定在棒的中點，只要棒能保持平衡，則體系一定能平衡，從而得到只需滿足的錯誤結(jié)論.