Question

【題目】從地球表面向火星發(fā)射火星探測(cè)器。設(shè)地球和火星都在同一平面上繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)，火星軌道半徑為地球軌道半徑的1.500倍。簡(jiǎn)單而又比較節(jié)省能量的發(fā)射過(guò)程可分為兩步進(jìn)行。第一步，在地球表面用火箭對(duì)探測(cè)器進(jìn)行加速，使之獲得足夠的動(dòng)能，從而脫離地球引力作用成為一個(gè)沿地球軌道運(yùn)行的人造衛(wèi)星。第二步，在適當(dāng)時(shí)刻點(diǎn)燃與探測(cè)器連在一起的火箭發(fā)動(dòng)機(jī)，在短時(shí)間內(nèi)對(duì)探測(cè)器沿原方向加速，使其速度數(shù)值增加到適當(dāng)值，從而使得探測(cè)器沿著一個(gè)地球軌道及火星軌道分別在長(zhǎng)軸兩端相切的半個(gè)橢圓軌道正好射到火星上，如圖甲所示。

(1)為使探測(cè)器成為沿地球軌道運(yùn)行的人造衛(wèi)星，必須加速探測(cè)器，應(yīng)使之在地面附近獲得多大的速度（相對(duì)于地球）？

(2)當(dāng)探測(cè)器脫離地球并沿地球公轉(zhuǎn)軌道穩(wěn)定運(yùn)行后，在某年3月1日零時(shí)測(cè)得探測(cè)器與火星之間的角距離為，如圖乙所示。問(wèn)：應(yīng)在何年何月何日點(diǎn)燃探測(cè)器上的火箭發(fā)動(dòng)機(jī)方能使探測(cè)器恰好落在火星表面？（時(shí)間計(jì)算僅需精確到日）已知地球半徑為，重力加速度可取。

Answer 1

【答案】同年的4月7日

【解析】

(1)設(shè)地球的質(zhì)量為，探測(cè)器及其附加裝置的總質(zhì)量為m，則探測(cè)器在地球表面的動(dòng)能和引力勢(shì)能分別為

，

.

當(dāng)探測(cè)器脫離地球引力作用成為沿地球軌道運(yùn)動(dòng)的人造行星時(shí)，可以認(rèn)為探測(cè)器的引力勢(shì)能；相對(duì)于地球的速度為零，因而，由機(jī)械能守恒有

，

得.

代入數(shù)值得.

(2)為使探測(cè)器落到火星上，必須選擇適當(dāng)時(shí)機(jī)點(diǎn)燃探測(cè)器上的火箭發(fā)動(dòng)機(jī)，使得探測(cè)器沿橢圓軌道到達(dá)與火星軌道的相切點(diǎn)時(shí)，火星也恰好運(yùn)行到這一點(diǎn)。為此，必須首先確定點(diǎn)燃火箭發(fā)動(dòng)機(jī)時(shí)探測(cè)器與火星的相對(duì)位置，已知探測(cè)器在地球公轉(zhuǎn)軌道上運(yùn)行周期與地球公轉(zhuǎn)周期相同，即

.

根據(jù)開普勒第三定律，火星的公轉(zhuǎn)周期為

.

而探測(cè)器的橢圓軌道上的半長(zhǎng)軸為

.

所以探測(cè)器在橢圓軌道上的運(yùn)行周期為

.

因此探測(cè)器從點(diǎn)燃火箭發(fā)動(dòng)機(jī)至到達(dá)火星，需時(shí)間.

探測(cè)器在點(diǎn)燃火箭發(fā)動(dòng)機(jī)前繞太陽(yáng)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為

.

火星繞太陽(yáng)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為

.

由于探測(cè)器運(yùn)行至火星需時(shí)255d，火星在此期間運(yùn)行的角距離為

.

即探測(cè)器在橢圓軌道近日點(diǎn)發(fā)射時(shí)，火星應(yīng)在其遠(yuǎn)日點(diǎn)的切點(diǎn)之前。亦即點(diǎn)燃火箭發(fā)動(dòng)機(jī)時(shí)，探測(cè)器與火星的角距離應(yīng)為，如圖丙所示。

已知某年3月1日零時(shí)探測(cè)器與火星的角距離為（火星在前，探測(cè)器在后）。為使其角距離成為，必須等待兩者在各自軌道中運(yùn)行至某個(gè)合適的時(shí)機(jī)。

設(shè)兩者到達(dá)合適位置，探測(cè)器又經(jīng)歷的天數(shù)為t，則

，

即.

故點(diǎn)燃火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的時(shí)刻應(yīng)為當(dāng)年的3月1日之后38天，即同年的4月7日。