Question

【題目】若在定義域內(nèi)存在實數(shù)x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，則稱函數(shù)f（x）有“漂移點”．

（1）用零點存在定理證明：函數(shù)f（x）=x2+2x在[0，1]上有“漂移點”；

（2）若函數(shù)g（x）=lg（）在（0，+∞）上有“漂移點”，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)見證明；(2) [3-，2）

【解析】

(1)只需證明 h（x）=f（x+1）-f（x）-f（1）=2（2x-1+x-1）=0在[0，1]上有解即可；（2）利用函數(shù)有飄移點x0，即lg=lg（）+lg在（0，+∞）成立，將式子進行化簡，轉(zhuǎn)為方程有解問題.

（1）令h（x）=f（x+1）-f（x）-f（1）=2（2x-1+x-1），

又h（0）=-1，h（1）=2，∴h（0）h（1）＜0，

∴h（x）=0在（0，1）上至少有一實根x0，

故函數(shù)f（x）=x2+2x在（0，1）上有“飄移點”．

（2）若g（x）=lg（）在（0，+∞）上有飄移點x0，由題意知a＞0，

即有l(wèi)g=lg（）+lg成立，即

整理得（2-a）-2ax0+2-2a=0，

從而關(guān)于x的方程g（x）=（2-a）x2-2ax+2-2a在（0，+∞）上應(yīng)有實根x0，

當(dāng)a=2時，方程的根為，不符合題意，

當(dāng)0＜a＜2時，由于函數(shù)g（x）的對稱軸，

可知，只需△=4a2-4（2-a）（2-2a）≥0，

∴，即有，

當(dāng)a＞2時，由于函數(shù)g（x）的對稱軸，

只需g（0）＞0即2-2a＞0，所以a＜1，無解．

綜上，a的取值范圍是[3-，2）．