Question

有一系列函數(shù)，如果它們解析式相同，值域相同，但定義域不同，則稱這一系列函數(shù)為“同族函數(shù)”．那么函數(shù)的解析式為y=x²，值域?yàn)閧1，2}的同族函數(shù)有________個(gè)；若n∈N^*，集合A_n={1，2，…，n}是解析式為y=x²的函數(shù)的值域，設(shè)a_n表示該函數(shù)的同族函數(shù)的個(gè)數(shù)，則a₁+a₂+…+a_n=________．

Answer 1

9    
分析：若函數(shù)的解析式為y=x²，值域?yàn)閧1，2}時(shí)，首先分析出其定義域中可能有的元素為±1和±，進(jìn)而對(duì)1或-1、或-分別分析可得其可能的情況數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；當(dāng)集合A_n={1，2，…，n}是解析式為y=x²的函數(shù)的值域時(shí)，其定義域中可能有的元素有±1、±、±、±2、…±，且每對(duì)相反數(shù)至少有一個(gè)，進(jìn)而對(duì)每對(duì)相反數(shù)依次分析可得其可能的情況數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得a_n的值，即可得{a_n}為等比數(shù)列，再用等比數(shù)列前n和公式求出a₁+a₂+…+a_n的值．
解答：根據(jù)題意，若函數(shù)的解析式為y=x²，值域?yàn)閧1，2}；則可能在其定義域中的元素有±1和±，且每對(duì)相反數(shù)至少有一個(gè)，
對(duì)于元素1或-1，兩個(gè)中任取一個(gè)或全部都取，有3種情況；
對(duì)于元素或-，兩個(gè)中任取一個(gè)或全部都取，有3種情況；
則當(dāng)函數(shù)y=x²，值域?yàn)閧1，2}時(shí)的同族函數(shù)有3×3=9個(gè)；
若n∈N^*，集合A_n={1，2，…，n}是解析式為y=x²的函數(shù)的值域，
則其定義域中可能有的元素有±1、±、±、±2、…±，且每組至少有一個(gè)，
對(duì)于元素1或-1，兩個(gè)中任取一個(gè)或全部都取，有3種情況；
對(duì)于元素或-，兩個(gè)中任取一個(gè)或全部都取，有3種情況；
…
對(duì)于元素或-，兩個(gè)中任取一個(gè)或全部都取，有3種情況；
則a_n=3×3×…×3=3ⁿ，
故a₁+a₂+…+a_n==；
故答案為9，．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的定義、數(shù)列的求和以及分步計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用，解題的難點(diǎn)在于利用分步計(jì)數(shù)原理分析出a_n=3ⁿ，進(jìn)而由等比數(shù)列前n和公式求出答案．