Question

有一系列函數(shù)，如果它們解析式相同，值域相同，但定義域不同，則稱這一系列函數(shù)為“同族函數(shù)”．那么函數(shù)的解析式為y=x²，值域?yàn)閧1，2}的同族函數(shù)有______個(gè)；若n∈N^*，集合A_n={1，2，…，n}是解析式為y=x²的函數(shù)的值域，設(shè)a_n表示該函數(shù)的同族函數(shù)的個(gè)數(shù)，則a₁+a₂+…+a_n=______．

Answer 1

根據(jù)題意，若函數(shù)的解析式為y=x²，值域?yàn)閧1，2}；則可能在其定義域中的元素有±1和±

2

，且每對(duì)相反數(shù)至少有一個(gè)，
對(duì)于元素1或-1，兩個(gè)中任取一個(gè)或全部都取，有3種情況；
對(duì)于元素

2

或-

2

，兩個(gè)中任取一個(gè)或全部都取，有3種情況；
則當(dāng)函數(shù)y=x²，值域?yàn)閧1，2}時(shí)的同族函數(shù)有3×3=9個(gè)；
若n∈N^*，集合A_n={1，2，…，n}是解析式為y=x²的函數(shù)的值域，
則其定義域中可能有的元素有±1、±

2

、±

3

、±2、…±

n

，且每組至少有一個(gè)，
對(duì)于元素1或-1，兩個(gè)中任取一個(gè)或全部都取，有3種情況；
對(duì)于元素

2

或-

2

，兩個(gè)中任取一個(gè)或全部都取，有3種情況；
…
對(duì)于元素

n

或-

n

，兩個(gè)中任取一個(gè)或全部都取，有3種情況；
則a_n=3×3×…×3=3ⁿ，
故a₁+a₂+…+a_n=

3(1-3n)

1-3

=

3(3n-1)

2

；
故答案為9，

3(3n-1)

2

．