Question

18．如圖一所示，四邊形ABCD為等腰梯形，AD∥BC，AD=4，BC=8，O、O₁分別為BC、AD的中點，將梯形ABOO₁沿直線OO₁折起，使得平面ABOO₁⊥平面OO₁DC，得到如圖二所示的三棱臺AO₁D-BOC，E為BC的中點．
（1）求證：BC⊥平面OO₁E；
（2）若直線O₁E與平面ABCD所成的角的正弦值為$\frac{\sqrt{10}}{10}$，求三棱錐A-BOC的體積．

Answer 1

分析 （1）在等腰梯形ABCD中，O、O₁分別為兩底BC、AD的中點，可得OO₁⊥BC，因此在三棱臺三棱臺AO₁D-BOC中，OO₁⊥BO，OO₁⊥OC，利用線面垂直的判定與性質可得OO₁⊥BC，利用等腰三角形的性質可得：OE⊥BC，即可證明．
（2）由（1）可得：OO₁⊥平面BOC，OO₁⊥BC，又平面ABOO₁⊥平面OO₁DC，可得∠BOC=90°．以O為坐標原點，分別以$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{O{O}_{1}}$的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系（如圖所示）．設OO₁=m，設平面ABCD的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=2x-mz=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-4x+4y=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$，利用設直線O₁E與平面ABCD所成的角為θ，sinθ=$|cos＜\overrightarrow{{O}_{1}E}，\overrightarrow{n}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{{O}_{1}E}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{{O}_{1}E}||\overrightarrow{n}|}$，即可得出．

解答 解：（1）在等腰梯形ABCD中，O、O₁分別為兩底BC、AD的中點，
∴OO₁⊥BC，
因此在三棱臺三棱臺AO₁D-BOC中，OO₁⊥BO，OO₁⊥OC，
又BO∩OC=O，∴OO₁⊥平面BOC，∴OO₁⊥BC，
又BO=OC，E為BC的中點，∴OE⊥BC，
∵OO₁∩OE=O，∴BC⊥平面OO₁E；
（2）由（1）可得：OO₁⊥平面BOC，∴OO₁⊥BC，
又平面ABOO₁⊥平面OO₁DC，∴∠BOC=90°．
以O為坐標原點，分別以$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{O{O}_{1}}$的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系（如圖所示）．
設OO₁=m，由題意可得，O（0，0，0），B（4，0，0），C（0，4，0），O₁（0，0，m），E（2，2，0），A（2，0，m）．
∴$\overrightarrow{AB}$=（2，0，-m），$\overrightarrow{BC}$=（-4，4，0），$\overrightarrow{{O}_{1}E}$=（2，2，-m）．
設平面ABCD的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=2x-mz=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-4x+4y=0}\end{array}\right.$，令x=1，則y=1，z=$\frac{2}{m}$，即$\overrightarrow{n}$=$（1，1，\frac{2}{m}）$，
設直線O₁E與平面ABCD所成的角為θ，
則sinθ=$|cos＜\overrightarrow{{O}_{1}E}，\overrightarrow{n}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{{O}_{1}E}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{{O}_{1}E}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{8+{m}^{2}}\sqrt{2+\frac{4}{{m}^{2}}}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
解得 m=$\sqrt{2}$或m=2$\sqrt{2}$，
∴V_A-BOC=$\frac{1}{3}×{S}_{△BOC}×O{O}_{1}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{4}^{2}×m$=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$或$\frac{16\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題考查了線面面面垂直的判定與性質定理、等腰三角形與等腰梯形的性質、線面角的計算公式、三棱錐的體積計算公式，考查了空間想象能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．