Question

過拋物線E：x²＝2py(p＞0)的焦點F作斜率分別為k₁，k₂的兩條不同直線l₁，l₂，且k₁＋k₂＝2，l₁與E相交于點A，B，l₂與E相交于點C，D，以AB，CD為直徑的圓M，圓N(M，N為圓心)的公共弦所在直線記為l.

(1)若k₁＞0，k₂＞0，證明：·＜2p²；

(2)若點M到直線l的距離的最小值為，求拋物線E的方程．

Answer 1

解　(1)由題意知，拋物線E的焦點為F，直線l₁的方程為y＝k₁x＋.

由得x²－2pk₁x－p²＝0.

設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)分別為(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，則x₁，x₂是上述方程的兩個實數(shù)根．

從而x₁＋x₂＝2pk₁，

y₁＋y₂＝k₁(x₁＋x₂)＋p＝2pk＋p.

所以點M的坐標(biāo)為，＝(pk₁，pk)．

同理可得點N的坐標(biāo)為，＝(pk₂，pk)，

于是·＝p²(k₁k₂＋kk)．

因為k₁＋k₂＝2，k₁＞0，k₂＞0，k₁≠k₂，

所以0＜k₁k₂＜²＝1.

故＜p²(1＋1²)＝2p².

(2)由拋物線的定義得|FA|＝y₁＋，|FB|＝y₂＋，所以|AB|＝y₁＋y₂＋p＝2pk＋2p，從而圓M的半徑r₁＝pk＋p.

故圓M的方程為(x－pk₁)²＋²

＝(pk＋p)²，

化簡得x²＋y²－2pk₁x－p(2k＋1)y－p²＝0.

同理可得圓N的方程為x²＋y²－2pk₂x－p(2k＋1)y－p²＝0.

于是圓M，圓N的公共弦所在直線l的方程為(k₂－k₁)x＋(k－k)y＝0.

又k₂－k₁≠0，k₁＋k₂＝2，則l的方程為x＋2y＝0.

因為p＞0，所以點M到直線l的距離

d＝

故當(dāng)k₁＝－時，d取最小值.

由題設(shè)，＝，解得p＝8.

故所求的拋物線E的方程為x²＝16y.