Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足下列關(guān)系：a₁=2a（a≠0，a為常數(shù)），a_n=2a-

a2

an-1

；數(shù)列{b_n}滿足關(guān)系：b_n=

1

an-a

．
（1）求證：a_n≠a；
（2）證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,推理和證明

分析：（1）假設(shè)a_n=a，利用a_n=2a-

a2

an-1

=a，可得a_n-1=a，這與a₁=2a（a≠0，a為常數(shù)）矛盾，從而可證結(jié)論成立；
（2）利用等差數(shù)列的定義，可證b_n+1-b_n=

1

an+1-a

-

1

an-a

=

1

a

，從而數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列．

解答： 證明：（1）假設(shè)a_n=a，
∵a_n=2a-

a2

an-1

，則2a-

a2

an-1

=a，∵a≠0，
解得：a_n-1=a，這與a₁=2a（a≠0，a為常數(shù)）矛盾，
∴a_n≠a；
（2）∵b_n=

1

an-a

，a_n=2a-

a2

an-1

；
∴b_n+1-b_n=

1

an+1-a

-

1

an-a

=

an

a(an-a)

-

1

an-a

=

an-a

a(an-a)

=

1

a

，為常數(shù)，
故數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為

1

a

，公差為

1

a

的等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的定義，考查遞推關(guān)系的應(yīng)用及推理與證明，考查反證法，屬于中檔題．