Question

已知函數(shù)y=

2

x

，x∈[3，5]．
（1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并利用單調(diào)性定義證明；
（2）求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，即可判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性即可求出函數(shù)的最值．

解答： 解：（1）函數(shù)y=

2

x

，x∈[3，5]是增函數(shù)．
設(shè)3≤x₁＜x₂≤5，
則f（x₁）-f（x₂）=

2

x1

-

2

x2

=

2(x2-x1)

x1x2

，
∵3≤x₁＜x₂≤5，
∴x₁x₂＞0，
∴x₂-x₁＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
則f（x₁）＞f（x₂），
即函數(shù)在[3，5]是遞減的．
（2）∵函數(shù)在[3，5]上是遞減的，
∴當(dāng)x=3時，函數(shù)取得最大值f（3）=

2

3

，
當(dāng)x=5時，函數(shù)取得最小值f（5）=

2

5

．

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明，以及利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值．