已知定點(diǎn)A（-2，-4），過點(diǎn)A作傾斜角為45°的直線l，交拋物線y2=2px（p＞0）于B、C兩點(diǎn)，且|BC|=2
10
．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）中的拋物線上是否存在點(diǎn)D，使得|DB|=|DC|成立？如果存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．
（1）直線l方程為y=x-2，將其代入y2=2px，并整理，得
x2-2（2+p）x+4=0…①，
∵p＞0，∴△=4（2+p）2-16＞0，
設(shè)B（x1，y1）、C（x2，y2），∴x1+x2=4+2p，x1•x2=4，
∵|BC|=2
10
，而|BC|=
1+k2
|x1-x2|，
∴2
2
p2+4p
=2
10
，解得p=1，∴拋物線方程y2=2x．
（2）假設(shè)在拋物線y2=2x上存在點(diǎn)D（x3，y3），使得|DB|=|DC|成立，記線段BC中點(diǎn)為E（x0，y0），
則|DB|=|DC|?DE⊥BC?kDE=-
1
k1
=-1，
當(dāng)p=1時，①式成為x2-6x+4=0，
∴x0=
x1+x2
2
=3，y0=x0-2=1，
∴點(diǎn)D（x3，y3）應(yīng)滿足
y32=2x3
y3-1
x3-3
=-1
，解得
x3=2
y3=2
或
x3=8
y3=-4

∴存在點(diǎn)D（2，2）或（8，-4），使得|DB|=|DC|成立．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定點(diǎn)A（2，0），P點(diǎn)在圓x2+y2=1上運(yùn)動，∠AOP的平分線交PA于Q點(diǎn)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求Q點(diǎn)的軌跡方程．

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已知定點(diǎn)A（2，-5），動點(diǎn)B在直線2x-y+3=0上運(yùn)動，當(dāng)線段AB最短時，求B的坐標(biāo)．

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已知定點(diǎn)A（2，0），圓O的方程為x2+y2=8，動點(diǎn)M在圓O上，那么∠OMA的最大值是（　�。�
A、
π
6
B、
π
4
C、arccos
2
3
D、arccos
2
4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定點(diǎn)A（-2，0），B（2，0），曲線E上任一點(diǎn)P滿足|PA|-|PB|=2．
（1）求曲線E的方程；
（2）延長PB與曲線E交于另一點(diǎn)Q，求|PQ|的最小值；
（3）若直線l的方程為x=a（a≤
12
），延長PB與曲線E交于另一點(diǎn)Q，如果存在某一位置，使得PQ的中點(diǎn)R在l上的射影C滿足PC⊥QC，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•石家莊一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知定點(diǎn)A（-2，0）、B（2，0），M是動點(diǎn)，且直線MA與直線MB的斜率之積為-
1
4
，設(shè)動點(diǎn)M的軌跡為曲線C．
（I）求曲線C的方程；
（II ）過定點(diǎn)T（-1，0）的動直線l與曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)S（s，0），使得
SP
•
SQ
為定值，若存在求出s的值；若不存在請說明理由．

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