Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（a+b）=f（a）+f（b），且x>0時(shí)，f（x）<0，f（1）=-2。
（1）求證f（x）是奇函數(shù)；
（2）求f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值。

Answer 1

解：（1）∵f（a+b）=f（a）+f（b），
令a=-b，得f（0）=f（a）+f（-a）；
令a=b=0，得f（0）=2f（0），
∴f（0）=0
∴f（a）+f（-a）=0（a∈R）
∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）為奇函數(shù)。
（2）解：設(shè)x₁＜x₂，x₁、x₂∈R
f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，
即f（x₂）＜f（x₁）
∴函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)遞減的
∴f（x）在[-3，3]上的最大值是f（-3），最小值是f（3）
∵f（1）=-2，
∴f（2）=f（1）+f（1）=-4，f（3）=f（2）+f（1）=-6，f（-3）=-f（3）=6
∴f（x）在[-3，3]上的最大值為6，最小值為-6。