Question

20．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=2，S_n=$\frac{n+2}{3}$a_n（n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求數列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用a_n=S_n-S_n-1計算可得a_n=$\frac{n+1}{n-1}$a_n-1，累乘可知a_n=n（n+1），驗證n=1時即可；
（2）通過裂項可知$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，并項相加即可．

解答 解：（1）由題意得當n≥2時，S_n-1=$\frac{n+1}{3}$a_n-1，
∴a_n=S_n-S_n-1=$\frac{n+2}{3}$a_n-$\frac{n+1}{3}$a_n-1，
∴a_n=$\frac{n+1}{n-1}$a_n-1，
∴a₂=3a₁，
a₃=$\frac{4}{2}$a₂，
a₄=$\frac{5}{3}$a₃，
…
a_n=$\frac{n+1}{n-1}$a_n-1，
以上各式相乘得：a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$a₁=n（n+1），
當n=1時，a₁=2也適合上式，
∴a_n=n（n+1）（n∈N^*）；
（2）由（1）得a_n=n（n+1），
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴T_n=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查數列的通項及前n項和，對表達式的靈活變形是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．