Question

4．函數(shù)f（x）=$\frac{ax+1}{x+2}$（a為常數(shù)）．
（1）若a=1，證明：f（x）在（-2，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)；
（2）當(dāng)x∈（-1，2）時(shí)，f（x）的值域?yàn)椋?$\frac{3}{4}$，3），求a的值．

Answer 1

分析 （1）a=1時(shí)，可得到f（x）=$1-\frac{1}{x+2}$，可利用增函數(shù)的定義證明該函數(shù)在（-2，+∞）上為增函數(shù)：設(shè)任意的x₁＞x₂＞0，然后作差，并對分式通分，便可證明f（x₁）＞f（x₂），這樣便可得出f（x）在（-2，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)；
（2）先將原函數(shù)變成$f（x）=a+\frac{1-2a}{x+2}$，可以看出1-2a的符號決定著f（x）的單調(diào)性，討論a：1-2a=0時(shí)，f（x）=a，顯然不符合條件；1-2a＞0，和1-2a＜0時(shí)，便可判斷f（x）的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性便可求出定義域（-1，2）對應(yīng)的值域，而值域又已知，從而可建立關(guān)于a的方程，解方程求出a即可．

解答 解：（1）證明：若a=1，f（x）=$\frac{x+1}{x+2}=1-\frac{1}{x+2}$；
設(shè)x₁＞x₂＞-2，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{1}{{x}_{2}+2}-\frac{1}{{x}_{1}+2}$=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{（{x}_{1}+2）（{x}_{2}+2）}$；
∵x₁＞x₂＞-2；
∴x₁-x₂＞0，x₁+2＞0，x₂+2＞0；
∴$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{（{x}_{1}+2）（{x}_{2}+2）}＞0$；
即f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（-2，+∞）為單調(diào)遞增函數(shù)；
（2）f（x）=$\frac{ax+1}{x+2}=\frac{a（x+2）+1-2a}{x+2}=a+\frac{1-2a}{x+2}$；
①若1-2a=0，即$a=\frac{1}{2}$，f（x）=$\frac{1}{2}$，不滿足f（x）的值域?yàn)?（-\frac{3}{4}，3）$，即這種情況不存在；
②若1-2a＞0，即$a＜\frac{1}{2}$，則f（x）在（-1，2）上為減函數(shù)；
∴f（x）的值域?yàn)椋╢（2），f（-1））=（$\frac{1}{4}+\frac{a}{2}$，1-a）=（$-\frac{3}{4}，3$）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}+\frac{a}{2}=-\frac{3}{4}}\\{1-a=3}\end{array}\right.$；
∴a=-2；
③若1-2a＜0，即a$＞\frac{1}{2}$，則f（x）在（-1，2）上為增函數(shù)；
∴f（x）的值域?yàn)椋╢（-1），f（2））=（1-a，$\frac{1}{4}+\frac{a}{2}$）=（$-\frac{3}{4}$，3）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-a=-\frac{3}{4}}\\{\frac{1}{4}+\frac{a}{2}=3}\end{array}\right.$；
∴a∈∅；
綜上得，a的值為-2．

點(diǎn)評 考查增函數(shù)的定義，以及根據(jù)增函數(shù)的定義證明一個(gè)函數(shù)為增函數(shù)的方法和過程，分離常數(shù)法在判斷函數(shù)單調(diào)性中的運(yùn)用，掌握反比例函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性定義求函數(shù)的值域．