Question

15．如圖，在正方體ABCD一A₁B₁C₁D₁中，AB=3，CE=2EC₁．
（Ⅰ）若F是AB的中點，求證；C₁F∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角D一BE一C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結CF交BD于點M，連結ME，通過△BMF∽△DMC，計算可得EM∥C₁F，利用線面平行的判定定理即得結論；
（Ⅱ）以D為坐標原點建系D-xyz，所求值即為平面BDE的法向量與平面BCE的一個法向量的夾角的余弦值的絕對值，計算即可．

解答 （Ⅰ）證明：連結CF交BD于點M，連結ME，
根據(jù)題意易得：△BMF∽△DMC．
∵F是AB的中點，∴$\frac{MF}{MC}$=$\frac{BF}{DC}$=$\frac{1}{2}$，
∵CE=2EC₁，∴$\frac{E{C}_{1}}{EC}=\frac{1}{2}$，
于是在△CFC₁中，有$\frac{MF}{MC}$=$\frac{E{C}_{1}}{EC}$，∴EM∥C₁F，
又∵EM?平面BDE，C₁F?平面BDE，
∴C₁F∥平面BDE；
（Ⅱ）解：以D為坐標原點，分別以DA、DC、DD₁所在直線為x、y、z軸建系D-xyz如圖，
則D（0，0，0），B（3，3，0），E（0，3，2），
∴$\overrightarrow{DB}$=（3，3，0），$\overrightarrow{DE}$=（0，3，2），
設平面BDE的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{3x+3y=0}\\{3y+2z=0}\end{array}\right.$，
取y=-2，得$\overrightarrow{m}$=（2，-2，3），
又平面BCE的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-2}{\sqrt{17}}$=-$\frac{2\sqrt{17}}{17}$，
∵二面角D一BE一C是銳二面角，
∴二面角D一BE一C的余弦值為$\frac{2\sqrt{17}}{17}$．

點評 本題考查空間中線面平行的判定，考查二面角的三角函數(shù)值，注意解題方法的積累，屬于中檔題．