Question

6．在平面直角坐標系xoy中，設點P（x₀，y₀）為橢圓Γ：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$上一點，過點P的直線${l_1}：\frac{{{x_0}x}}{4}+\frac{{{y_0}y}}{3}=1$交直線l₂：x=4于點Q．
（1）證明：直線l₁為橢圓Γ的切線；
（2）x軸上是否存在定點R，使得以PQ為直徑的圓過定點R？若存在，求出R的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）將點P（x₀，y₀）代入橢圓Γ：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，可得y=$\frac{3}{{y}_{0}}$（1-$\frac{{x}_{0}x}{4}$）再代入橢圓Γ，利用根的判別式△=0，即得結(jié)論；
（2）設定點R（r，0），通過$\overrightarrow{RP}$•$\overrightarrow{RQ}$=0，可得r=1，即得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵點P（x₀，y₀）為橢圓Γ：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$上一點，
∴$\frac{{x}_{0}x}{4}$+$\frac{{y}_{0}y}{3}$=1，即y=$\frac{3}{{y}_{0}}$（1-$\frac{{x}_{0}x}{4}$），
代入橢圓Γ：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，
整理可得：（$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}$）x²-2x₀x+4（1-$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}$）=0，
∵$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}$=1，∴x²-2x₀x+4（1-$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}$）=0，
∵△=（-2x₀）²-16（1-$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}$）=0，
∴直線l₁為橢圓Γ的切線；
（2）結(jié)論：存在定點R（1，0），使得以PQ為直徑的圓過定點R．
理由如下：
依題意，P（x₀，y₀），Q（4，$\frac{3（1-{x}_{0}）}{{y}_{0}}$），
設定點R（r，0），則$\overrightarrow{RP}$=（x₀-r，y₀），$\overrightarrow{RQ}$=（4-r，$\frac{3（1-{x}_{0}）}{{y}_{0}}$），
∵$\overrightarrow{RP}$•$\overrightarrow{RQ}$=0，∴（x₀-r）（4-r）+y₀•$\frac{3（1-{x}_{0}）}{{y}_{0}}$=0，
即（1-r）x₀+（r²-4r+3）=0，
故$\left\{\begin{array}{l}{1-r=0}\\{{r}^{2}-4r+3=0}\end{array}\right.$，解得r=1，
∴存在定點R（1，0），使得以PQ為直徑的圓過定點R．

點評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．