Question

設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）是函數(shù)y=sinx（-π＜x＜0）上兩不同點(diǎn)，試根據(jù)函數(shù)圖象特征判定下列四個不等式的正確性：
①

sinx1

x1

＜

sinx2

x2

；
②sinx₁＜sinx₂；
③

1

2

(sinx1+sinx2)＞sin

x1+x2

2

；
④sin

x1

2

＞sin

x2

2

其中正確的不等式的個數(shù)是（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點(diǎn)：正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：①根據(jù)

sinx1

x1

表示直線OA的斜率，

sinx2

x2

表示直線OB的斜率，A在第三象限時，與原點(diǎn)連線斜率為正，B在第四象限時，與原點(diǎn)所連直線斜率為負(fù)，可得①不正確；
②由于函數(shù)y=sinx（-π＜x＜0）的單調(diào)性不確定，可得出②不正確；
③由于函數(shù)y=sinx的圖象在（-

π

2

，0）上是下凹型的，而

1

2

（sinx₁+sinx₂）表示線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，故有③

1

2

(sinx1+sinx2)＞sin

x1+x2

2

成立；
④由-

π

2

＜

x1

2

＜

x2

2

＜0，而函數(shù)y=sinx在（-

π

2

，0）上是增函數(shù)，可得sin

x1

2

＜sin

x2

2

成立．

解答： 解：①由于

sinx1

x1

表示直線OA的斜率，

sinx2

x2

表示直線OB的斜率，A在第三象限時，與原點(diǎn)連線斜率為正，B在第四象限時，與原點(diǎn)所連直線斜率為負(fù)，故①不正確；
②由于函數(shù)y=sinx（-π＜x＜0）的單調(diào)性不確定，故由x₁＜x₂，不能推出①sinx₁＜sinx₂ ． 故②sinx₁＜sinx₂ ，不一定成立．
③由于函數(shù)y=sinx的圖象在（-

π

2

，0）上是下凹型的，而

1

2

（sinx₁+sinx₂）表示線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，故有③

1

2

(sinx1+sinx2)＞sin

x1+x2

2

成立．
④由題意可得-

π

2

＜

x1

2

＜

x2

2

＜0，而函數(shù)y=sinx在（-

π

2

，0）上是增函數(shù)，故有sin

x1

2

＜sin

x2

2

成立，故④不正確．
故③正確．
故選：B．

點(diǎn)評：本題主要正弦函數(shù)的單調(diào)性，線段的中點(diǎn)公式以及直線的斜率公式的應(yīng)用，屬于基本知識的考查．