Question

在平面直角坐標系中，已知橢圓的左焦點為，且橢圓的離心率.

(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)橢圓的上下頂點分別為,是橢圓上異于的任一點,直線分別交軸于點,證明:為定值,并求出該定值；

(3)在橢圓上，是否存在點，使得直線與圓相交于不同的兩點，且的面積最大？若存在，求出點的坐標及對應(yīng)的的面積；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）存在點滿足題意，點的坐標為， 的面積為．

【解析】

試題分析：（1）由題目給出的條件直接列關(guān)于的方程組求解的值，則橢圓方程可求；（2）由橢圓方程求出橢圓上下頂點的坐標，設(shè)出橢圓上的動點，由直線方程的兩點式寫出直線的方程，取后得到和的長度，結(jié)合點在橢圓上整體化簡運算可證出為定值；（3）假設(shè)存在點，使得直線與圓，相交于不同的兩點，且的面積最大，由點在橢圓上得到關(guān)于和的關(guān)系式，由點到直線的距離公式求出原點到直線的距離，由圓中的半徑，半弦長和弦心距之間的關(guān)系求出弦長，寫出的面積后利用基本不等式求面積的最大值，利用不等式中等號成立的條件得到關(guān)于和的另一關(guān)系式，聯(lián)立后可求解的坐標．

試題解析：

（1）由題意：，解得：

所以橢圓

(2) 由（1）可知,設(shè),

直線:,令,得;

直線:,令,得;

則,

而,所以,

所以

(3)假設(shè)存在點滿足題意，則，即

設(shè)圓心到直線的距離為，則，且

所以

所以

因為，所以，所以

所以

當且僅當，即時，取得最大值

由，解得

所以存在點滿足題意，點的坐標為

此時的面積為．

考點：本題考查了橢圓的標準方程，考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)，考查了直線和圓錐曲線的關(guān)系，直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等．突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．