Question

在數(shù)列{a_n}中，a1=-

1

2

，2a_n=a_n-1-n-1（n≥2，n∈N^*），設(shè)b_n=a_n+n．
（Ⅰ）證明：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{nb_n}的前n項和T_n；
（Ⅲ）若cn=(

1

2

)n-an，P_n為數(shù)列{

cn2+cn+1

cn2+cn

}的前n項和，求不超過P₂₀₁₄的最大的整數(shù)．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定,數(shù)列與不等式的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由2a_n=a_n-1-n-1兩邊加2n得，2（a_n+n）=a_n-1+n-1，根據(jù)等比數(shù)列的定義可得結(jié)論；
（Ⅱ）表示出nb_n，利用錯位相減法可求得T_n；
（Ⅲ）求出a_n，c_n，進而可得

cn2+cn+1

cn2+cn

，利用裂項相消法求得P₂₀₁₄，由此可得答案；

解答： （Ⅰ）證明：由2a_n=a_n-1-n-1兩邊加2n得，2（a_n+n）=a_n-1+n-1，
∴

an+n

an-1+(n-1)

=

1

2

，即

bn

bn-1

=

1

2

，
∴數(shù)列{b_n}是公比為2的等比數(shù)列，
其首項為b1=a1+1=-

1

2

+1=

1

2

，bn=(

1

2

)n；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，nbn=n•(

1

2

)n=

n

2n

，
則Tn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+

4

24

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

①，

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+

3

24

+

4

25

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

②，
①-②得

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

，
∴Tn=2-

n+2

2n

；
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）得an=(

1

2

)n-n，
∴c_n=n，

cn2+cn+1

cn2+cn

=

n2+n+1

n2+n

=1+

1

n(n+1)

=1+

1

n

-

1

n+1

，
P2014=(1+

1

1

-

1

2

)+(1+

1

2

-

1

3

)+(1+

1

3

-

1

4

)+…+(1+

1

2014

-

1

2015

)=2015-

1

2015

，
∴不超過P₂₀₁₄的最大的整數(shù)是2014．

點評：本題考查由數(shù)列遞推式求數(shù)列通項、等比關(guān)系的確定、數(shù)列求和等知識，裂項相消法、錯位相減法對數(shù)列求和是高考考查的重點內(nèi)容，要熟練掌握．