Question

15．設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且S_△ABC=bccosA．
（1）求tan2A的值；
（2）若b²=a²+c²-$\sqrt{2}$ac，b=$\sqrt{5}$，求c．

Answer 1

分析 （1）由題意和三角形的面積公式求出tanA的值，由二倍角的正切公式求出tan2A的值；
（2）由題意和余弦定理求出cosB，由內角的范圍和特殊角的余弦值求出B，由同角三角函數的基本關系求出sinA，由正弦定理求出邊a，代入b²=a²+c²-$\sqrt{2}$ac求出c的值．

解答 解：（1）由題意知，S_△ABC=bccosA，
則$\frac{1}{2}$bcsinA=bccosA，則sinA=2cosA，即tanA=2，
所以tan2A=$\frac{2tanA}{1-ta{n}^{2}A}$=$\frac{4}{1-4}$=-$\frac{4}{3}$；
（2）因為b²=a²+c²-$\sqrt{2}$ac，所以a²+c²-b²=$\sqrt{2}$ac，
由余弦定理得，cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由0＜B＜π得，B=$\frac{π}{4}$，
由（1）知tanA=2，則$\left\{\begin{array}{l}{sinA=2cosA}\\{si{n}^{2}A+co{s}^{2}A=1}\end{array}\right.$，
解得sinA=±$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
因為sinA＞0，所以sinA=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
由正弦定理得，$\frac{sinB}=\frac{a}{sinA}$，a=$\frac{bsinA}{sinB}$=$\frac{\sqrt{5}×\frac{2\sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=2$\sqrt{2}$，
代入b²=a²+c²-$\sqrt{2}$ac得，5=8+c²-4c，則c²-4c+3=0，
解得c=3或1．

點評 本題考查正弦、余弦定理，同角三角函數的基本關系，三角形的面積公式，二倍角的正切公式等，考查公式較多，但難度不大，注意內角的范圍．