Question

6．若函數(shù)y=$\frac{m{x}^{2}+3x+n}{x+1}$值域為y≤-4或y≥2，求m，n的值．

Answer 1

分析 可將原函數(shù)變成mx²+（3-y）x+n-y=0，可將該式看成關(guān)于x的方程，并且方程有解，容易判斷m≠0，從而方程為一元二次方程，從而有△=y²+（4m-6）y+9-4mn≥0，從而得到該不等式的解集為y≤-4，或y≥2，這樣便知-4，2是方程y²+（4m-6）y+9-4mn=0的兩實數(shù)根，這樣根據(jù)韋達(dá)定理即可求出m，n．

解答 解：由原函數(shù)得：yx+y=mx²+3x+n；
∴mx²+（3-y）x+n-y=0    （1），看成關(guān)于x的方程，方程有解；
若m=0，方程變成（3-y）x+n-y=0；
∴y≠3，或y=3=n，不符合y≤-4，或y≥2；
∴m≠0；
∴方程（1）為一元二次方程，方程有解，則：
△=（3-y）²-4m（n-y）=y²+（4m-6）y+9-4mn≥0；
∵原函數(shù)的值域為y≤-4，或y≥2；
∴該不等式的解為y≤-4，或y≥2；
∴-4，2是方程y²+（4m-6）y+9-4mn=0的兩實根；
根據(jù)韋達(dá)定理：$\left\{\begin{array}{l}{6-4m=-4+2}\\{9-4mn=-4•2}\end{array}\right.$；
∴$m=2，n=\frac{17}{8}$．

點評 考查函數(shù)值域的概念，通過將原函數(shù)解析式整理成關(guān)于x的方程的形式，由方程有解求函數(shù)值域的方法，一元二次方程有解時，判別式△的取值情況，以及韋達(dá)定理．