Question

設(shè)拋物線的焦點為，點，線段的中點在拋物線上. 設(shè)動直線與拋物線相切于點，且與拋物線的準線相交于點，以為直徑的圓記為圓．

（1）求的值；

（2）證明：圓與軸必有公共點；

（3）在坐標(biāo)平面上是否存在定點，使得圓恒過點？若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

 解：（1）利用拋物線的定義得，故線段的中點的坐標(biāo)為，代入方程得，解得。                      

（2）由（1）得拋物線的方程為，從而拋物線的準線方程為

 由得方程，

由直線與拋物線相切，得        

且，從而，即，         

由，解得，          

∴的中點的坐標(biāo)為

圓心到軸距離，

 

∵                     

所圓與軸總有公共點.  

 (或 由, ,以線段為直徑的方程為:

令得

,所圓與軸總有公共點）.

 （3）假設(shè)平面內(nèi)存在定點滿足條件，由拋物線對稱性知點在軸上，設(shè)點坐標(biāo)為，                                   

由（2）知，

∴  。

由得，

所以，即或

 所以平面上存在定點，使得圓恒過點.  

證法二：由（2）知，，的中點的坐標(biāo)為

所以圓的方程為

 整理得

 上式對任意均成立，

當(dāng)且僅當(dāng)，解得  

所以平面上存在定點，使得圓恒過點.