Question

【題目】若圓錐的內(nèi)切球（球面與圓錐的側(cè)面以及底面都相切）的半徑為1，當(dāng)該圓錐體積取最小值時，該圓錐體積與其內(nèi)切球體積比為（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

解法一：設(shè)圓錐底面半徑為，高為，根據(jù)∽可得，即，利用錐體的體積公式，然后利用基本不等式求最值；解法二：同解法一，利用導(dǎo)數(shù)求最值；解法三：設(shè)，可得，，即，設(shè)，利用二次函數(shù)配方即可求解.

解法一：如圖，設(shè)圓錐底面半徑為，高為.

由∽可得，即，

則，

所以，

因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，

此時圓錐體積最小，最小值為.因為該球的體積為，

所以該圓錐體積與其內(nèi)切球體積比為.

解法二： 如圖，設(shè)圓錐底面半徑為，高為.

由∽可得，即，

則，

所以令，

則，

當(dāng)時，；

當(dāng)時，；

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，

即時，該圓錐體積最小， 最小值為.又其內(nèi)切球體積為.

所以該圓錐體積與其內(nèi)切球體積比為，

解法三：設(shè)，則，所以，

又，所以，

所以，令，

因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取得最大值，

從而圓錐體積最小，最小值為.因為該球的體積為，

所以該圓錐體積與其內(nèi)切球體積比為，

故選：D.