Question

【題目】已知函數f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一零點，則a=（　�。�
A.﹣
B.
C.
D.1

Answer 1

【答案】C
【解析】解：因為f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）=﹣1+（x﹣1）2+a（ex﹣1+ ）=0，
所以函數f（x）有唯一零點等價于方程1﹣（x﹣1）2=a（ex﹣1+ ）有唯一解，
等價于函數y=1﹣（x﹣1）2的圖象與y=a（ex﹣1+ ）的圖象只有一個交點．
①當a=0時，f（x）=x2﹣2x≥﹣1，此時有兩個零點，矛盾；
②當a＜0時，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上遞增、在（1，+∞）上遞減，
且y=a（ex﹣1+ ）在（﹣∞，1）上遞增、在（1，+∞）上遞減，
所以函數y=1﹣（x﹣1）2的圖象的最高點為A（1，1），y=a（ex﹣1+ ）的圖象的最高點為B（1，2a），
由于2a＜0＜1，此時函數y=1﹣（x﹣1）2的圖象與y=a（ex﹣1+ ）的圖象有兩個交點，矛盾；
③當a＞0時，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上遞增、在（1，+∞）上遞減，
且y=a（ex﹣1+ ）在（﹣∞，1）上遞減、在（1，+∞）上遞增，
所以函數y=1﹣（x﹣1）2的圖象的最高點為A（1，1），y=a（ex﹣1+ ）的圖象的最低點為B（1，2a），
由題可知點A與點B重合時滿足條件，即2a=1，即a= ，符合條件；
綜上所述，a= ，
故選：C．
通過轉化可知問題等價于函數y=1﹣（x﹣1）2的圖象與y=a（ex﹣1+ ）的圖象只有一個交點求a的值．分a=0、a＜0、a＞0三種情況，結合函數的單調性分析可得結論．