已知
a
=(cosx+sinx,sinx).
b
=(cosx-sinx,2cosx),設(shè)f(x)=
a
b

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)三角形ABC的三個(gè)角A,B,C所對(duì)邊分別是a,b,c,且滿足A=
π
3
,f(B)=1,
3
a+
2
b=10,求邊c.
分析:(1)f(x)=
2
sin(2x+
π
4
),由-
π
2
+2kπ≤2x+
π
4
π
2
+2kπ即可求得函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)由f(B)=1可求得B=
π
4
,由正弦定理可設(shè)設(shè)
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
=k,結(jié)合題意可得k=4,從而可求得c.
解答:解:(1)∵f(x)=
a
b
=cos2x+sin2x=
2
sin(2x+
π
4
),…(3分)
∴由-
π
2
+2kπ≤2x+
π
4
π
2
+2kπ得由f(x)遞增得:-
8
+kπ≤x≤
π
8
+kπ,k∈Z,
∴函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是[-
8
+kπ,
π
8
+kπ],k∈Z.  …(6分)
(2)由f(B)=1⇒sin(2B+
π
4
)=
2
2
及0<B<π得B=
π
4
,…(8分)
設(shè)
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
=k,則
3
ksin
π
3
+
2
ksin
π
4
=10,
5
2
k=10,k=4 …(10分)
所以c=ksinC=4sin(A+B)=4(sin
π
3
cos
π
4
+cos
π
3
sin
π
4
)=
6
+
2
.…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,考查解三角形,突出考查正弦定理的應(yīng)用,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知
a
=(cosx+sinx,sinx),
b
=(cosx-sinx,2cosx).
(1)求證:向量
a
與向量
b
不可能平行;
(2)若f(x)=
a
b
,且x∈[-
π
4
π
4
]時(shí),求函數(shù)f(x)的最大值及最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知
a
=(cosx+sinx,sinx),
b
=(cosx+sinx,-2sinx),且f(x)=
a
.
b

(1)求f(x)的解析式,并用f(x)=Asin(wx+φ)的形式表示;
(2)求方程f(x)=1的解.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知
a
=(cosx,sinx),
b
=(sinx,cosx),與f(x)=
a
b
要得到函數(shù)y=cos2x-sin2x的圖象,只需將函數(shù)y=f(x)的圖象( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知
a
=(1-cosx,2sin
x
2
),
b
=(1+cosx,2cos
x
2
)
,設(shè)f(x)=2+sinx-
1
4
|
a
-
b
|2

(Ⅰ)求f(x)的表達(dá)式;
(Ⅱ)若函數(shù)g(x)和函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,
(。┣蠛瘮(shù)g(x)的解析式;
(ⅱ)若函數(shù)h(x)=g(x)-λf(x)+1在區(qū)間[-
π
2
,
π
2
]
上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知
a
=(cosx+sinx,sinx),
b
=(cosx-sinx,2cosx),設(shè)f(x)=
a
b

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)由y=sinx的圖象經(jīng)過(guò)怎樣變換得到y(tǒng)=f(x)的圖象,試寫出變換過(guò)程;
(3)當(dāng)x∈[0,
π
2
]時(shí),求函數(shù)f(x)的最大值及最小值.

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