Question

4．在數列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=2a${\;}_{n}^{2}$，b_n=log₂a_n，求證：數列{b_n+1}是等比數列．

Answer 1

分析 通過a_n+1=2a${\;}_{n}^{2}$，利用對數的性質可得b_n+1=1+2b_n，變形可得1+b_n+1=2（1+b_n），進而可得結論．

解答 證明：∵a_n+1=2a${\;}_{n}^{2}$，b_n=log₂a_n，
∴b_n+1=log₂a_n+1
=log₂2a${\;}_{n}^{2}$
=log₂2+$lo{g}_{2}{{a}_{n}}^{2}$
=1+2log₂a_n
=1+2b_n，
∴1+b_n+1=2（1+b_n），
即數列{b_n+1}是以2為公比的等比數列．
∵a₁=2，
∴b₁=log₂a₁=log₂2=1，
∴1+b_n=（1+1）•2^n-1=2ⁿ．

點評 本題考查等比數列的判定，注意解題方法的積累，屬于中檔題．