Question

19．已知數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b₂=5，b_n+1=5b_n-6b_n-1，若數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n=b_n（$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{1}{_{2}}$+…+$\frac{1}{_{n-1}}$）（n≥2，n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列{b_n+1-3b_n}為等比數(shù)列，并求{b_n}的通項公式；
（2）求證：（1+$\frac{1}{{a}_{1}}$）（1+$\frac{1}{{a}_{2}}$）（1+$\frac{1}{{a}_{3}}$）…（1+$\frac{1}{{a}_{n}}$）＜3．

Answer 1

分析 （1）由{b_n}滿足b₁=1，b₂=5，b_n+1=5b_n-6b_n-1（n≥2），知b_n+1-3b_n=2（b_n-3b_n-1），故{b_n+1-3b_n}成等比數(shù)列，由此能求出b_n=3ⁿ-2ⁿ．
（2）由a_n=b_n（$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{1}{_{2}}$+…+$\frac{1}{_{n-1}}$），n∈N^*，推導出$\frac{{1+a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{_{n}}{_{n+1}}$，從而得到∴（1+$\frac{1}{{a}_{1}}$）（1+$\frac{1}{{a}_{2}}$）（1+$\frac{1}{{a}_{3}}$）…（1+$\frac{1}{{a}_{n}}$）=$\frac{1+{a}_{1}}{{a}_{1}}$•$\frac{1+{a}_{2}}{{a}_{2}}$•…•$\frac{{1+a}_{n}}{{a}_{n}}$=$\sum_{k=1}^{n}$$\frac{1}{{3}^{n}-{2}^{n}}$，n∈Z^*．由此能夠證明結論．

解答 證明：（1）∵b_n+1=5b_n-6b_n-1，
∴b_n+1-3b_n=2b_n-6b_n-1=2（b_n-3b_n-1），
∴數(shù)列{b_n+1-3b_n}為等比數(shù)列，
又∵b₁=1，b₂=5，
∴b₂-3b₁=5-3=2，
∴b_n+1-3b_n=2•2^n-1=2ⁿ，
∴b_n+1=3b_n+2ⁿ，
∴b_n+1+2ⁿ⁺¹=3（b_n+2ⁿ），
又∵b₁=1，∴b₁+2=3，
∴b_n+2ⁿ=3•3^n-1=3ⁿ，
∴b_n=3ⁿ-2ⁿ；
（2）∵a_n=b_n（$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{1}{_{2}}$+…+$\frac{1}{_{n-1}}$）（n≥2，n∈N^*），
∴1+a_n=b_n（$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{1}{_{2}}$+…+$\frac{1}{_{n-1}}$）+1=b_n（$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{1}{_{2}}$+…+$\frac{1}{_{n-1}}$+$\frac{1}{_{n}}$），
∴$\frac{{1+a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{_{n}（\frac{1}{_{1}}+\frac{1}{_{2}}+…\frac{1}{_{n}}）}{_{n+1}（\frac{1}{_{1}}+\frac{1}{_{2}}+…+\frac{1}{_{n}}）}$=$\frac{_{n}}{_{n+1}}$，
∴（1+$\frac{1}{{a}_{1}}$）（1+$\frac{1}{{a}_{2}}$）（1+$\frac{1}{{a}_{3}}$）…（1+$\frac{1}{{a}_{n}}$）
=$\frac{1+{a}_{1}}{{a}_{1}}$•$\frac{1+{a}_{2}}{{a}_{2}}$•…•$\frac{{1+a}_{n}}{{a}_{n}}$
=$\frac{1}{{a}_{1}}$•$\frac{1+{a}_{1}}{{a}_{2}}$•$\frac{1+{a}_{3}}{{a}_{2}}$•…•$\frac{1+{a}_{n-1}}{{a}_{n}}$•（1+a_n）
=$\frac{1}{{a}_{1}}$•$\frac{_{1}}{_{2}}$•$\frac{_{2}}{_{3}}$•…•$\frac{_{n-1}}{_{n}}$•b_n•（$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{1}{_{2}}$+…+$\frac{1}{_{n-1}}$+$\frac{1}{_{n}}$）
=$\frac{{a}_{1}}{_{1}}$•（$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{1}{_{2}}$+…+$\frac{1}{_{n-1}}$+$\frac{1}{_{n}}$）
=$\frac{1}{1}$•（$\frac{1}{3-2}$+$\frac{1}{{3}^{2}-{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}-{2}^{n}}$）
=$\sum_{k=1}^{n}$$\frac{1}{{3}^{n}-{2}^{n}}$，
∵1-$（\frac{2}{3}）^{k}$≥$\frac{1}{3•{2}^{k-1}}$，
f（k）=1-$（\frac{2}{3}）^{k}$單調遞增，
g（k）=$\frac{1}{3•{2}^{k-1}}$單調遞減，
∴3^k-2^k≥$（\frac{3}{2}）^{k-1}$，
∴$\frac{1}{{3}^{k}-{2}^{k}}$≤$（\frac{2}{3}）^{k-1}$，
∴$\sum_{k=1}^{n}$$\frac{1}{{3}^{n}-{2}^{n}}$≤$\sum_{k=1}^{n}$$（\frac{2}{3}）^{k-1}$=$\frac{1}{1-\frac{2}{3}}$=3，
∴（1+$\frac{1}{{a}_{1}}$）（1+$\frac{1}{{a}_{2}}$）（1+$\frac{1}{{a}_{3}}$）…（1+$\frac{1}{{a}_{n}}$）＜3．

點評 本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式的求法，考查不等式的證明．解題時要認真審題，注意構造法和等價轉化思想的合理運用，屬于中檔題．