Question

已知，將f （x）的圖象向左平移，再向上平移2個長度單位后，圖象關于直線對稱．
（1）求實數(shù)a的值，并求f（x）取得最大值時x的集合；
（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

解：（1）∵已知=-2-2cos2x+2a•sin2x，
將f（x）的圖象向左平移所得圖象對應的函數(shù)為y=-2-2cos2（x+）+2a•sin2（x+）=-2+2sin2x+2a•cos2x，
再把所得圖象向上平移2個長度單位后，所得圖象對應的函數(shù)為y=2sin2x+2a•cos2x，
∴g（x）=2sin2x+2a•cos2x．
∵g（x）的圖象關于直線x=對稱，∴有g（0）=g（），即2a=+a，解得a=1．
則f（x）=2sin2x-2cos2x-2=4sin（2x-）-2．
當2x-=2kπ+，即x=kπ+時，f（x）取得最大值2．
因此，f（x）取得最大值時x的集合是{x|x=kπ+，k∈Z}．
（2）令2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈z，求得 kπ-≤x≤kπ+，
因此，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-，kπ+]（k∈Z）．
分析：（1）先求得將f（x）的圖象變換后所得圖象對應的函數(shù)解析式為 g（x）=2sin2x+2a•cos2x，由g（x）的圖象關于直線x=對稱，g（0）=g（），求得a的值，從而求得f（x）的解析式，由此可得f（x）的最大值．
（2）令2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈z，求得x的范圍，即可求得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
點評：本題考查三角函數(shù)的最值，重點考查正弦函數(shù)的對稱性質(zhì)與單調(diào)性，難點是輔助角公式的理解與應用，屬于中檔題．