Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=e^x．
（1）求函數(shù)y=f（x）-x的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：函數(shù)y=f（x）和y=g（x）在公共定義域內(nèi)，g（x）-f（x）＞2．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）先化簡y=f（x）-x=lnx-x，再求其定義域及導(dǎo)數(shù)y′=

1

x

-1=

1-x

x

；從而確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的公共定義域?yàn)椋?，+∞）；再令F（x）=g（x）-f（x）=e^x-lnx；求導(dǎo)可得F′（x）=e^x-

1

x

在（0，+∞）上是增函數(shù)，從而可得在（

1

2

，1）上存在m，使e^m=

1

m

，故m=

1

em

=e^-m；從而可得F（x）≥F（m）=e^m-lnm=

1

m

-lne^-m=

1

m

+m；從而證明．

解答： 解：（1）y=f（x）-x=lnx-x的定義域?yàn)椋?，+∞）；
y′=

1

x

-1=

1-x

x

；
故當(dāng)x∈（0，1）時，y′＞0；
當(dāng)x∈（1，+∞）時，y′＜0；
故函數(shù)y=f（x）-x的單調(diào)增區(qū)間為（0，1）；
單調(diào)減區(qū)間為（1，+∞）．
（2）證明：函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的公共定義域?yàn)椋?，+∞）；
令F（x）=g（x）-f（x）=e^x-lnx；
則F′（x）=e^x-

1

x

在（0，+∞）上是增函數(shù)，
且F′（

1

2

）=

e

-2＜0；
F′（1）=e-1＞0；
故在（

1

2

，1）上存在m，使e^m=

1

m

，故m=

1

em

=e^-m；
則F（x）=e^x-lnx在（0，m）上是減函數(shù)，在（m，+∞）上是增函數(shù)，
故F（x）≥F（m）=e^m-lnm
=

1

m

-lne^-m=

1

m

+m；
∵m∈（

1

2

，1），
∴

1

m

+m＞2；
故g（x）-f（x）＞2．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，同時考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于難題．