Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\frac{2x+b}{x-a}$（x∈R，x≠a）．
（1）若函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若函數(shù)F（x）=$\frac{a}{f（x）}$（a≠0），且F（x）的反函數(shù)F^-1（x）的圖象如圖，求出a、b的值，并寫出F^-1（x）的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，說明其反函數(shù)就是本身，求出其反函數(shù)，然后由兩個(gè)解析式相等求得a值；
（2）由F^-1（x）的圖象過（0，6），且對(duì)稱中心的縱坐標(biāo)為-2，橫坐標(biāo)大于0，可得函數(shù)F（x）的圖象過點(diǎn)（6，0），且對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為-2，縱坐標(biāo)大于0．
然后把F（x）=$\frac{a}{f（x）}$變形，根據(jù)函數(shù)圖象的平移得到其對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，結(jié)合F（6）=0聯(lián)立方程組求得a、b的值，則F^-1（x）的表達(dá)式可求．

解答 解：（1）由y=f（x）=$\frac{2x+b}{x-a}$，得yx-ay=2x+b，即x=$\frac{ay+b}{y-2}$，∴y=$\frac{ax+b}{x-2}$．
∵函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，∴$\frac{ax+b}{x-2}$=$\frac{2x+b}{x-a}$，即a=2；
（2）F（x）=$\frac{a}{f（x）}$=$\frac{a}{\frac{2x+b}{x-a}}=\frac{ax-{a}^{2}}{2x+b}$=$\frac{\frac{a}{2}（2x+b）-{a}^{2}-\frac{ab}{2}}{2x+b}$=$\frac{a}{2}-\frac{\frac{2{a}^{2}+ab}{4}}{x+\frac{2}}$，
由圖可知，函數(shù)F^-1（x）的圖象過（0，6），且對(duì)稱中心的縱坐標(biāo)為-2，橫坐標(biāo)大于0．
∴函數(shù)F（x）的圖象過點(diǎn)（6，0），且對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為-2，縱坐標(biāo)大于0．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{6a-{a}^{2}}{12+b}=0}\\{-\frac{2}=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=6}\\{b=4}\end{array}\right.$．
∴F（x）=$\frac{6x-36}{2x+4}=\frac{3x-18}{x+2}$，
由y=$\frac{3x-18}{x+2}$，得x=$\frac{2y+18}{3-y}$，x，y互換得：$y=\frac{2x+18}{3-x}$．
則F^-1（x）=$\frac{2x+18}{3-x}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的反函數(shù)的求法，考查了函數(shù)特性的平移，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬中檔題．