Question

17．已知函數(shù)f（x）=（x-a）e^x+a-$\frac{1}{2}$x²+（a-1）x（a∈R）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若a＞3，討論函數(shù)f（x）在[1，3]上的最小值；
（3）當a=-2時．曲線y=f（x）與直線y=m有三個交點，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導數(shù)，分類討論，利用導數(shù)的正負，即可得出函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若a＞3，f（x）在（-∞，-a）上單調(diào)遞增，（-a，a-1）上單調(diào)遞減，（a-1，+∞）上單調(diào)遞增，分類討論，即可求出函數(shù)f（x）在[1，3]上的最小值；
（3）當a=-2時f（x）在（-∞，-3）上單調(diào)遞增，（-3，2）上單調(diào)遞減，（2，+∞）上單調(diào)遞增，利用曲線y=f（x）與直線y=m有三個交點，即可求m的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=（x-a）e^x+a-$\frac{1}{2}$x²+（a-1）x，
∴f′（x）=（x-a+1）（e^x+a-1）=0，可得x=-a或x=a-1，
-a=a-1，即a=$\frac{1}{2}$時，f′（x）≥0恒成立，f（x）在R上單調(diào)遞增；
-a＞a-1，即a＜$\frac{1}{2}$時，f（x）在（-∞，a-1）上單調(diào)遞增，（a-1，-a）上單調(diào)遞減，（-a，+∞）上單調(diào)遞增；
-a＜a-1，即a＞$\frac{1}{2}$時，f（x）在（-∞，-a）上單調(diào)遞增，（-a，a-1）上單調(diào)遞減，（a-1，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）a＞3，f（x）在（-∞，-a）上單調(diào)遞增，（-a，a-1）上單調(diào)遞減，（a-1，+∞）上單調(diào)遞增，
∵a＞3，∴a-1＞2，
2＜a-1＜3，即3＜a＜4時，函數(shù)f（x）在[1，3]上的最小值為f（a-1）=e^2a-1-$\frac{1}{2}$（a-1）²+（a-1）²，
a≥4時，函數(shù)f（x）在[1，3]上的最小值為f（3）=（3-a）e^3+a-$\frac{9}{2}$+3（a-1）；
（3）a=-2，f（x）=（x+2）e^x-2-$\frac{1}{2}$x²-3x，
f′（x）=0，可得x=-3或2，
f（x）在（-∞，-3）上單調(diào)遞增，（-3，2）上單調(diào)遞減，（2，+∞）上單調(diào)遞增，
∵f（-3）=$\frac{9}{2}-{e}^{-5}$＞0，f（2）=4-2-6=-4＜0，曲線y=f（x）與直線y=m有三個交點，
∴m的取值范圍是-4＜m＜$\frac{9}{2}-{e}^{-5}$．

點評 本題考查導數(shù)知識的綜合運用，考查分類討論的數(shù)學思想，正確分類討論是關鍵．